線性丟番圖方程：

背景：當我們需要求解特定方程的整數解的時候，那麼就得到了一個丟番圖方程，這些方程是根據丟番圖（diophantus）命名的。他寫下了一些方程並將解限定在有理數域上。方程ax+by=c上的格點。第一個解是由婆羅摩笈多（brahmagupta）給出的

定理1：設a，b是整數且d=（a，b）。如果c不能被d整除那麼方程ax+by=c沒有整數解。如果c能被d整除那麼存在無窮多個整數解，另外，如果x=x0，y=y0是方程的一個特解，那麼所有的解可以表示為：

X=x0+（b/d）*n

Y=y0-(a/d)*n

其中n是整數

定理2：如果a1,a2,…,an是正整數，那麼方程a1x1+a2x2+…+anxn=c有整數解當且僅當d=（a1,a2,……,an）能整除c，另外當存在一個解的時候，那麼方程有無窮多個解

解n元一次不定方程a1x1+a2x2+…+anxn=c（a1,a2,…,an∈N）時，可先順次求出（a1,a2）=d2,(d2,a3)=d3,……,(d(n-1),an)=dn.若c能被dn整除，則方程有解，作方程：

A1x1+a2x2=d2t2

D2t2+a3x3=d3t3

……

D(n-1)t(n-1)+anxn=c

求出最後一個方程的所有解，然後把tn-1的每一個值代入倒數第二個方程，求出它的所有解，依次類推，即可得所有解。

M個n元一次不定方程組成的方程組，其中m＜n，可以消去m-1個未知數，從而消去m-1個不定方程，將方程組轉化為1個n-m+1元的一次不定方程。