在ACM競賽中經常會遇到各種的求冪問題，這種問題一般情況下對應的數字都會很大，所以快速冪就會經常用到，快速冪很好用，就算沒有弄清楚快速冪的原理，只要有模板很快就可以解題。

先說幾個比較重要的公式：
模運算與基本四則運算有些相似，但是除法例外。其規則如下：

(a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1） // 這個公式等下寫題目就會用到的
(a – b) % p = (a % p – b % p) % p （2）
(a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）
(a^b) % p = ((a % p)^b) % p

（4） //快速冪的公式

結合律：

((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p （5）
((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p （6）

交換律：

(a + b) % p = (b+a) % p （7）
(a * b) % p = (b * a) % p （8）

分配律：

((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p （9）

重要定理：

若a≡b (% p)，則對於任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)；（10）
若a≡b (% p)，則對於任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)；（11）
若a≡b (% p)，c≡d (% p)，則 (a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a – c) ≡ (b – d) (%p)，
(a * c) ≡ (b * d) (%p)，(a / c) ≡ (b / d) (%p)； （12）

先上幾個最常用的模板：
1.快速乘法 ： a*b

int qmul(int a,int b){// 根據資料範圍可選擇long long 
    int ans=0;
    while(b){
        if( b&1)ans+=a;//按位與完成位數為1的判斷
        b>>=1;a<<=1;//位運算代替/2和*2
    }
    return ans;
}

2.快速乘法取模 (a*b)%mod

int qmul_mod(int a,int b,int mod){
    int ans=0;
    while(b){
        if
 
((b%=mod)&1)ans+=a%=mod;//這裡需要b%=mod 以及a%=mod 
        b>>=1;a<<=1;
    }
    return ans%mod;  //ans也需要對mod取模 
}

3.快速冪 a^b

int qpow(int a,int b){
    if(a==0)return 0;//這是個坑，校賽被坑過，很多網上的實現都沒寫這一點
    int ans=1;
    while(b){
        if(b&1)ans*=a;//和快速乘法的區別
        b>>=1;a*=a;//區別，同上
    }
    return ans;
}

4.快速冪取模 (a^b)%mod

int qpow_mod(int a,int b,int mod){
    if(a==0)return 0;
    int ans=1;
    while(b){
        if(b&1)ans=(ans%mod)*(a%mod);//如果確定資料不會爆的話，可寫成 ans*=a%=mod;
        b>>=1;a*=a%=mod;//等價於a=(a%mod)*(a%mod)，且將一個模運算通過賦值代替，提高了效率
    }
    return ans%mod;//資料不會爆的話，這裡的%運算會等價於第5中不斷重複的 ans%mod
}

例題 POJ 1995
我是在VJ上直接拉過去的 就不放連結了
題目意思：
前面的廢話省略，現在有一個遊戲，每個人可以有兩個數字Ai 和 Bi
現在要你把所以人的Ai^Bi求出來 然後全部加起來 再取模mod 結果輸出就可以了
就是：(A1^B1+A2^B2+A3^B3+……………………An^Bn)%mod;
把上面那個式子的結果輸出就可以了 資料範圍不大 快速冪一遍過
但是這裡用到了前面說的公式

(a + b) % p = (a % p + b % p) % p
這個對於多項也是成立的，然後利用上面的公式
將每個人的Ai 和 Bi快速冪取模 然後相加 全部加起來之後再取一次模 就拿到結果了
ok
上一下我的程式碼：

// POJ 1995
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll qpow_mod(ll a,ll b,ll mod){
    if(a==0) return 0;
    ll ans = 1;
    while(b){
      if(b&1) ans = (ans%mod)*(a%mod);
      b>>=1;
      a*=a%=mod;
    }
    return ans%mod;
}
int main(int argc, char const *argv[])
{
    int T;
    int m,n;
    ll sum;
    //freopen("input.txt","r",stdin);
    //freopen("output.txt","w",stdout);
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        sum = 0;
        scanf("%d",&m);
        scanf("%d",&n);
        for(int i=0;i<n;i++){
            int a,b;
            scanf("%d %d",&a,&b);
            sum = sum + qpow_mod(a,b,m);
        }
        printf("%lld\n",sum%m);
    }
    return 0;
}

很尷尬 用了141ms 雖然不是特別快 但是也不慢了至少是Ac了
好了 快速冪就講到這裡
然後我覺得 畢竟是在搞競賽的嘛，我認為準備模板啊這些的很正常，
而且在我現在實力不是特別的雄厚的時候，準備一些模板我覺得是可取的，雖然說不能完全的理解這個模板，但是多少懂一點，然後會用，在慢慢用的過程中自己在去領悟這個演算法的真諦
之前打杭電的多校聯賽，清華大學的team090這隻隊伍四次比賽三次AK，有一個很難的一題沒有A出來，很佩服他們，和大神之間有很大差距，我們可以向他們學習，至少比昨天的自己更加優秀

遭遇了不理解，枯燥，TLE，WA………這些之後還在堅持的走下去，等看到了Ac，內心的成就感，我想這就是我們學演算法的一個小意義所在吧 ！好了，要去吃飯了。一起加油！