卷積

最近總是和卷積打交道,工作需要，每天都要碰到它好幾次,不勝煩惱,因為在大學時候學訊號與系統的時候就沒學會，我於是心想一定要把卷積完全搞明白。正好同辦公室的同學也問我什麼是卷積,師姐昨天也告訴我說:"我也早就想把這個問題搞明白了！"經過一段時間的思考之後，有一些很有趣的體會和大家分享。

聽說卷積這種運算式物理學家發明的，在實際中用得不亦樂乎，而數學家卻一直沒有把運算的意義徹底搞明白。仔細品以下，還是有那麼點滋味的。

下面先看一下劍橋大學的教科書對卷積的定義：

我們都知道這個公式，但是它有什麼物理意義呢，平時我們用卷積做過很多事情，訊號處理時，輸出函式是輸入函式和系統函式的卷積，在影象處理時，兩組幅解析度不同的圖卷積之後得到的互相平滑的影象可以方便處理。卷積甚至可以用在考試作弊中，為了讓照片同時像兩個人，只要把兩人的影象卷積處理即可，這就是一種平滑的過程，可是我們怎麼才能真正把公式和實際建立起一種聯絡呢，也就是說，我們能不能從生活中找到一種很方便且具體的例子來表達公式的物理意義呢？

有一個七品縣令，喜歡用打板子來懲戒那些市井無賴，而且有個慣例：如果沒犯大罪，只打一板，釋放回家，以示愛民如子。

有一個無賴，想出人頭地卻沒啥指望，心想：既然揚不了善名，出惡名也成啊。怎麼出惡名？炒作唄！怎麼炒作？找名人呀！他自然想到了他的行政長官——縣令。

無賴於是光天化日之下，站在縣衙門前撒了一泡尿，後果是可想而知地，自然被請進大堂捱了一板子，然後昂首挺胸回家，躺了一天，嘿！身上啥事也沒有！第二天如法炮製，全然不顧行政長管的仁慈和衙門的體面，第三天、第四天......每天去縣衙門領一個板子回來，還喜氣洋洋地，堅持一個月之久！這無賴的名氣已經和衙門口的臭氣一樣，傳遍八方了！

縣令大人噤著鼻子，呆呆地盯著案子上的驚堂木，擰著眉頭思考一個問題：這三十個大板子怎麼不好使捏？

——人（系統！）挨板子（脈衝！）以後，會有什麼表現（輸出！）？

——費話，疼唄！

——我問的是：會有什麼表現？

——看疼到啥程度。像這無賴的體格，每天挨一個板子啥事都不會有，連哼一下都不可能，你也看到他那得意洋洋的嘴臉了（輸出0）；如果一次連揍他十個板子，他可能會皺皺眉頭，咬咬牙，硬挺著不哼（輸出1）；揍到二十個板子，他會疼得臉部扭曲，象豬似地哼哼（輸出3）；揍到三十個板子，他可能會象驢似地嚎叫，一把鼻涕一把淚地求你饒他一命（輸出5）；揍到四十個板子，他會大小便失禁，勉強哼出聲來（輸出1）；揍到五十個板子，他連哼一下都不可能（輸出

縣令鋪開座標紙，以打板子的個數作為X軸，以哼哼的程度（輸出）為Y軸，繪製了一條曲線：

——嗚呼呀！這曲線象一座高山，弄不懂弄不懂。為啥那個無賴連捱了三十天大板卻不喊繞命呀？

——呵呵，你打一次的時間間隔（Δτ=24小時）太長了，所以那個無賴承受的痛苦程度一天一利索，沒有疊加，始終是一個常數；如果縮短打板子的時間間隔（建議Δτ=0.5秒），那他的痛苦程度可就迅速疊加了；等到這無賴挨三十個大板（t=30）時，痛苦程度達到了他能喊叫的極限，會收到最好的懲戒效果，再多打就顯示不出您的仁慈了。

——還是不太明白，時間間隔小，為什麼痛苦程度會疊加呢？

——這與人（線性時不變系統）對板子（脈衝、輸入、激勵）的響應有關。什麼是響應？人挨一個板子後，疼痛的感覺會在一天（假設的，因人而異）內慢慢消失（衰減），而不可能突然消失。這樣一來，只要打板子的時間間隔很小，每一個板子引起的疼痛都來不及完全衰減，都會對最終的痛苦程度有不同的貢獻：

t個大板子造成的痛苦程度=Σ(第τ個大板子引起的痛苦*衰減係數)[衰減係數是（t-τ）的函式，仔細品味]

數學表達為：y(t)=∫T(τ)H(t-τ)

——拿人的痛苦來說卷積的事，太殘忍了。除了人以外，其他事物也符合這條規律嗎？

——呵呵，縣令大人畢竟仁慈。其實除人之外，很多事情也遵循此道。好好想一想，鐵絲為什麼彎曲一次不折，快速彎曲多次卻會輕易折掉呢？

——恩，一時還弄不清，容本官慢慢想來——但有一點是明確地——來人啊，將撒尿的那個無賴抓來，狠打40大板！

轉自：http://blog.csdn.net/yeeman/article/details/6325693