若同階矩陣A B的特徵值之一分別為x ,y那麼A+B的特徵值是不是有一個為x+y
答：
特徵值的個數不一定只有一個，故一般說A的特徵值之一為x，或x是A的一個特徵值，或x是A的特徵值之一。因此我將題目略作了修改，同意不？
如果它們有A的特徵值x對應的特徵向量與B的特徵值y對應的特徵向量相同，比如都是ξ，
那麼 Aξ=xξ,B=yξ，此時(A+B)ξ=(x+y)ξ，此時A+B有特徵值x+y，對應的特徵向量還是ξ.
其它情況就不好說了。。。
後來，電燈劍客先生提醒我說是不一定。其實我也正是因為沒有進一步找出例子，也沒有再深入分析，所以就說不好說。下面略分析一下。
不妨以二階矩陣為例，令
A=
a1,b1;
a2,b2
B=
c1,d1;
c2,d2
由已知,
|xE-A|=xx-tr(A)x+det(A)=0
|yE-B|=yy-tr(B)y+det(B)=0
注：這裡tr(A)是A的
 
主對角線元素和，即tr(A)=a1+b2.
分析|(x+y)E-(A+B)|=
(xx+yy+2xy)-(tr(A)+tr(B))(x+y)+det(A)+det(B)+det{a1,d1;a2,d2}+det{c1,b1;c2,b2}
=0+0+2xy-tr(A)y-tr(B)x+det{a1,d1;a2,d2}+det{c1,b1;c2,b2}
易見它可能等於0，也可能不等於0.
故A+B不一定有特徵值x+y，即可能有也可能沒有。
或者說，x+y可能是A+B的特徵值，也可能不是。

題二：設A,B分別是n階正定矩陣，那麼A+B是否是正定矩陣。
解：據定義，在複數範圍內，
A為n階的正定矩陣（有時簡稱為正定陣）<=>對於任一n維列向量x，都有x[H]Ax>0,
於是，依題意，x[H]Ax>0，x[H]Bx>0，相加得：x[H](A+B)x>0 ，即證A+B也為正定矩陣。

注1：此處，x[H]表示向量x的共軛轉置，亦稱為Hemite轉置，此概念已涵蓋實向量的轉置。
因為在實數範圍內，數的共軛等於自身，故實向量x的共軛轉置即是x的轉置。
注2：同理，複數範圍內的正定矩陣定義，已經涵蓋的實數範圍內的正定矩陣的定義。
注3：A[H]=A，即矩陣A的共軛轉置等於自身，則稱為對稱自
 
共軛矩陣，共軛對稱矩陣，或Hemite矩陣。故Hemite矩陣，已經涵蓋了實對稱矩陣的定義。

注4：正定矩陣的特徵及性質
定理1：共軛對稱陣A為正定的充分必要條件是：A的特徵值全為正。
定理2：共軛對稱陣A為正定的充分必要條件是：A的各階順序主子式都為正。
定理3：任意陣A為正定的充分必要條件是：A合同於單位陣。
定理4：任意陣A為正定的充分必要條件是：A的逆陣也是正定矩陣。
正定矩陣的性質：
1.正定矩陣一定是非奇異的，即det(A)或記為|A|≠0。
2.正定矩陣的任一主子矩陣也是正定矩陣。
3.若A為實對稱正定矩陣，則存在唯一的主對角線元素都是正數的下三角陣L，使得A=L*L′，此分解式稱為 正定矩陣的喬列斯基(Cholesky)分解。這裡L'表示轉置。
注：正定矩陣之於矩陣，相當於正數之於數。矩陣的
 
Cholesky分解，相當於數的開平方。

外一則：
B為對稱矩陣，E為單位矩陣。則存在充分大的正實數a，使得aE+B為正定矩陣。

另有性質待考：

3++.若A為共軛對稱正定矩陣，則存在唯一的主對角線元素都是正數的下三角陣L，使得A=L*L[H]，此為 共軛對稱正定矩陣的喬列斯基(Cholesky)分解。這裡L[H]表示L的共軛轉置。

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