克魯斯卡爾演算法(Kruskal's algorithm)是兩個經典的最小生成樹演算法的較為簡單理解的一個。這裡面充分體現了貪心演算法的精髓。大致的流程可以用一個圖來表示。這裡的圖的選擇借用了Wikipedia上的那個。非常清晰且直觀。

首先第一步，我們有一張圖，有若干點和邊

如下圖所示：

第一步我們要做的事情就是將所有的邊的長度排序，用排序的結果作為我們選擇邊的依據。這裡再次體現了貪心演算法的思想。資源排序，對區域性最優的資源進行選擇。

排序完成後，我們率先選擇了邊AD。 這樣我們的圖就變成了

第二步，在剩下的變中尋找。我們找到了CE。這裡邊的權重也是5

依次類推我們找到了6,7,7。完成之後，圖變成了這個樣子。

下一步就是關鍵了。下面選擇那條邊呢？ BC或者EF嗎？都不是，儘管現在長度為8的邊是最小的未選擇的邊。但是現在他們已經連通了（對於BC可以通過CE,EB來連線，類似的EF可以通過EB, BA, AD, DF來接連）。所以我們不需要選擇他們。類似的BD也已經連通了（這裡的連通線用紅色表示了）。所以最後就剩下EG和FG了。當然我們選擇了EG。 最後成功的圖就是下圖：

到這裡所有的邊點都已經連通了，一個最小生成樹構建完成。

如果要簡要得描述這個演算法的話就是，首先邊的權重排序。（從小到大）迴圈的判斷是否需要選擇這裡的邊。判斷的依據則是邊的兩個頂點是否已經連通，如果連通則繼續下一條。不連通就選擇使其連通。這個流程還是非常清晰明瞭。

但是在實現的時候，困難的地方在於如何描述2個點已然連通？ 這裡用到了並查集做輔助，至於並查集可以到這裡去看看。

這裡貼出並查集的程式碼和Kruscal的C++實現：

/* * * Disjoint_Set_Forest.h -- an implementation for disjoint set data structure * * Created by Ge Chunyuan on 04/09/2009. * * version: 0.1 */ #pragma once #ifndef _DISJOINT_SET_H_ #define _DISJOINT_SET_H_ #include <vector> template <typename T> class DisjointSet { public: DisjointSet(); ~DisjointSet(); void makeSet ( const std::vector<T>& s ); bool findSet ( const T& s, T& parent); void Union ( const T& s1, const T& s2 ); protected: struct Node { int rank; T data; Node* parent; }; int m_nElementCnt; int m_nSetCnt; std::vector<Node*> m_Nodes; }; template< class T> DisjointSet<T>::DisjointSet() { m_nElementCnt = 0; m_nSetCnt = 0; } template< class T> DisjointSet<T>::~DisjointSet() { for (int i=0;i<m_nElementCnt;i++) delete m_Nodes[i]; } template< class T> void DisjointSet<T>::makeSet( const std::vector<T>& s ) { m_nElementCnt += (int)s.size(); m_nSetCnt += (int)s.size(); std::vector<T>::const_iterator it = s.begin(); for (;it != s.end(); ++ it) { Node* pNode = new Node; pNode->data = *it; pNode->parent = NULL; pNode->rank = 0; m_Nodes.push_back(pNode); } } template< class T> bool DisjointSet<T>::findSet( const T& s, T& parent) { Node* curNode = NULL; bool find =false; for (int i=0;i<(int)m_Nodes.size();i++) { curNode = m_Nodes[i]; if (curNode->data == s) { find = true; break; } } if (!find) return false; // find the root Node* pRoot = curNode; while (pRoot->parent != NULL) { pRoot = pRoot->parent; } // update all curNode's parent to root while (curNode != pRoot) { Node* pNext = curNode->parent; curNode->parent = pRoot; curNode = pNext; } parent = pRoot->data; return true; } template< class T> void DisjointSet<T>::Union( const T& s1, const T& s2 ) { Node* pNode1 = NULL; Node* pNode2 = NULL; int find = 0; for (int i=0;i<(int)m_Nodes.size();++i) { if (m_Nodes[i]->data == s1 || m_Nodes[i]->data == s2 ) { find ++; if (m_Nodes[i]->data == s1) pNode1 = m_Nodes[i]; else pNode2 = m_Nodes[i]; } } // not found if ( find != 2) return ; if (pNode1->rank > pNode2->rank) pNode2->parent = pNode1; else if (pNode1->rank < pNode2->rank) pNode1->parent = pNode2; else { pNode2->parent = pNode1; ++ pNode1->rank; } --m_nSetCnt; } #endif //_DISJOINT_SET_H_

// Kruscal_Algorithm.cpp : Defines the entry point for the console application. // #include "stdafx.h" #include <string> #include <vector> #include <algorithm> #include <iostream> #include "Disjoint_Set_Forest.h" struct Vertex { Vertex () { } Vertex (std::string n) { name = n; } bool operator==(const Vertex& rhs) { return name == rhs.name; } bool operator!=(const Vertex& rhs) { return name != rhs.name; } std::string name; }; struct Edge { Edge () {} Edge (Vertex v1, Vertex v2, int w) { this->v1 = v1; this->v2 = v2; this->w = w; } Vertex v1; Vertex v2; int w; }; struct EdgeSort { bool operator()(const Edge& e1, const Edge& e2) { return e1.w<e2.w; } }; struct PrintEdge { void operator() (Edge e) { std::cout<< "edge start from "<<e.v1.name <<" to "<<e.v2.name << " with length = "<<e.w <<std::endl;; } }; class Graph { public: void appendVertex ( const Vertex& v1) { m_vertexs.push_back(v1); } void appendEdge ( const Vertex& v1, const Vertex& v2, int w) { m_edges.push_back( Edge(v1,v2,w) ); } void minimumSpanningKruskal () { std::vector<Edge> result; std::sort (m_edges.begin(), m_edges.end(), EdgeSort()); DisjointSet<Vertex> dv; dv.makeSet(m_vertexs); std::vector<Edge>::iterator it = m_edges.begin(); for (;it!= m_edges.end();++it) { Vertex p1; Vertex p2; bool b1 = dv.findSet(it->v1, p1 ); bool b2 = dv.findSet(it->v2, p2 ); if ( b1&& b2 && (p1 != p2)) { dv.Union(p1, p2); result.push_back(*it); } } for_each(result.begin(), result.end(), PrintEdge()); } protected: std::vector<Vertex> m_vertexs; std::vector<Edge> m_edges; }; int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[]) { Graph gr; Vertex a("A"); Vertex b("B"); Vertex c("C"); Vertex d("D"); Vertex e("E"); Vertex f("F"); Vertex g("G"); gr.appendVertex(a); gr.appendVertex(b); gr.appendVertex(c); gr.appendVertex(d); gr.appendVertex(e); gr.appendVertex(f); gr.appendVertex(g); gr.appendEdge(a,b,7); gr.appendEdge(a,d,5); gr.appendEdge(b,c,8); gr.appendEdge(b,d,9); gr.appendEdge(b,e,7); gr.appendEdge(c,e,5); gr.appendEdge(d,e,15); gr.appendEdge(d,f,6); gr.appendEdge(e,f,8); gr.appendEdge(e,g,9); gr.appendEdge(f,g,11); gr.minimumSpanningKruskal(); system("pause"); return 0; }