下面我們討論如何計算獨立元素數目。

一、問題定義

如果一個數據流，其中m為資料流的大小，。我們可以定義每個元素

出現的次數為，其中為第i個元素出現的次數。假設，容易得知d為在

資料流中出現的不同元素數目，也就是獨立元素數目。

對於這個問題，可以在記憶體中使用高效的搜尋結構（比如平衡BST等）保留當前已經出現的元素。但是如果元素數目實在太

多以致搜尋結構無法訪問記憶體時，我們可以使用更多的機器或者將資料結構的一部分放入到外存中。

上述做法是計算流中獨立元素的精確解。如果我們僅僅需要對獨立元素數目進行估計，則方法要簡單的多，空間消耗也很少

（一般確定性演算法空間複雜度需要）。

二、具體演算法

通過將流中元素雜湊到一個足夠長的位串，就可以實現獨立元素數目的估計。這裡要求雜湊函式屬於2-universal hash family。要求位串必須要足夠長，以致雜湊函式的可能結果數目要遠大於流中獨立元素個數。如果在流中看到的不同元素越多，我們看到的不同雜湊值也就越多。對於一個元素雜湊後的結果p，我們定義zero(p)為p的二進位制表示尾部中連續0的個數。也就是如下定義：

如果我們記錄流中所有元素zero()的最大值設為z，從直觀上理解，如果流中獨立元素數目越多，那麼z的取值就會越大。演算法的基本思想就是如果我們從d個不同的元素中希望有一個使得。舉例來說，如果流中有8個獨立元素，我們希望其中有一個滿足雜湊後的結果尾部有3個0。所以zero(h(j))的最大值（也就是下面演算法中的z）理論上應該是log d的一個較好的近似。

基於上述想法，演算法的步驟如下：

int get_distinct_elements_num(vector<int>&nums) {
	z=0;
	//h(i)為雜湊函式
	//zero(i)是求i二進位制表示尾部中連續0的數目
	for(int i=0;i<nums.size();i++){
		if(zero(h(nums[j]))>z){
			z=zero(h(nums[j]));
		}
	}
	return 2<<(z+1.0/2);
}
 

假設為一個取值0或1的量，表示，，t表示第二節中演算法執行結束後z的取值。很明顯，我們有：

或者

因為h(j)是取值是隨機的，所以：

由於之間獨立，我們得到的期望和方差：

分別由馬爾科夫不等式和切比雪夫不等式可得：

設是演算法對d的估計，有。設a是滿足的整數，b是滿足的最大整數。則有

通過上面兩個式子，可以發現，只是d的同階的估計，並不是一個任意好的估計。另外，過大或者過小的概率並不是很大，只有。

四、Median trick

所謂median trick就是我們執行這個演算法k次，取k次結果的中位數即可。通過切爾諾夫界可以證明，median trick可以使

五、附相關不等式。

1.馬爾科夫不等式

2.切比雪夫不等式