Leetcode 600.不包含連續1的非負整數
不包含連續1的非負整數
給定一個正整數 n，找出小於或等於 n 的非負整數中，其二進制表示不包含 連續的1 的個數。
示例 1:
輸入: 5
輸出: 5
解釋:
下面是帶有相應二進制表示的非負整數<= 5：
0 : 0
1 : 1
2 : 10
3 : 11
4 : 100
5 : 101
其中，只有整數3違反規則（有兩個連續的1），其他5個滿足規則。
說明: 1 <= n <= 109
思路
考慮一種比較簡單的情況，如果n=2^k - 1，其中k為正整數，那麽問題就變成二進制數00……0（k個0）到11……1（k個1）中有幾個數不包含連續的1，設答案為f(k)。
我們可以考慮k位二進制數的第一位：如果第一位是0，那麽第二位既可以取0也可以取1，也就是說對後面的k-1位無影響，所以第一位為0
這樣，我們就得到了：f(k) = f(k-1) + f(k-2)。邊界條件為f(1)=2以及f(2)=3，由於f(0)=1滿足原問題的題意也滿足上述的轉移方程，故可以取邊界條件f(0)=1，f(1)=2。
對於n不是2^k-1的一般情況，與上一點的不同之處在於：上一點中只要滿足二進制位長度不超過k，那麽這個數就不會超過n=2^k - 1，而這種情況需要具體考慮不超過n的數。
假設n的二進制有k位，最高位為1，其二進制為1xx……x（x表示0或1），那麽0到n可分為00……0（k個0）到011……1（一個0，k-1個1）和100……0（一個1，k-1個0）到1xx……x（即n）兩個部分。
前一個部分即0到2^(k-1)-1，這部分中滿足條件的答案為f(k-1)；第二部分則需進一步討論：如果n的二進制從左往右第二位為1，即n的形式為11x……x，那麽因為題目要求不能有連續的1，所以這一位只能取0，這樣的數一定小於n，所以後k-2位不受大小的限制，答案為f(k-2)，並結束計算；如果n的二進制從左往右第二位為0，即n的形式為10x……x，那麽為滿足不超過n的條件，第二位也只能取0，這樣問題就變為從100……0到10x……x之間有多少滿足條件的數，這樣就可以繼續對n的二進制的後k-2位進一步進行類似的討論。
舉個例子，n=10，二進制為1010：
對於最高位的1，我們將0到1010分為0到111和1000到1010兩部分，前一部分的個數為f(3) = 5。
第二部分為1000到1010，最高位確定取1，而n的二進制從左往右第二位為0，為滿足不超過n的條件，滿足條件的數從左往右第二位只能取0。
n的二進制從左往右第三位為1，這樣我們又可以按i中的方法，把1000到1010再次分成1000到1001和1010兩個部分，前一部分的個數為f(1) = 2。
到n的最低位，為0，故最後一位只能取0，按照之前的算法這一步不會增加答案，但由於n=1010b本身還沒有計入，故再加1。
最後得到答案5+2+1=8。
n的二進制長度為log(n)，故該算法的時間復雜度為O(log(n))。
第一種情況示意
第二種情況示意：
1 class Solution { 2 public int findIntegers(int num) { 3 if(num==0) return 1; 4 String binary = Integer.toBinaryString(num); 5 int len=binary.length(); 6 int[] f = new int[len+1]; 7 f[0]=1; 8 f[1]=2; 9 //計算場i的二進制位符合要求的個數 10 for(int i=2; i<=len; i++) { 11 f[i] = f[i-1]+f[i-2]; 12 } 13 //計算0~n的符合要求的總個數 14 int sum=0; 15 for(int i=0, k=len; i<len; i++,k--) { 16 if(binary.charAt(i)==‘1‘) { 17 sum+=f[k-1]; 18 if(i>0 && binary.charAt(i-1)==‘1‘) { 19 return sum; 20 } 21 } 22 } 23 //先前沒有return，到這裏，說明n本身沒有算進去 24 sum++; 25 return sum; 26 } 27 }
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