Given a positive integer n, find the number of non-negative integers less than or equal to n, whose binary representations do NOT contain consecutive ones.

Example 1:

Input: 5
Output: 5
Explanation: 
Here are the non-negative integers <= 5 with their corresponding binary representations:
0 : 0
1 : 1
2 : 10
3 : 11
4 : 100
5 : 101
Among them, only integer 3 disobeys the rule (two consecutive ones) and the other 5 satisfy the rule. 

Note: 1 <= n <= 109

這道題給了我們一個數字，讓我們求不大於這個數字的所有數字中，其二進位制的表示形式中沒有連續1的個數。根據題目中的例子也不難理解題意。我們首先來考慮二進位制的情況，對於1來說，有0和1兩種，對於11來說，有00，01，10，三種情況，那麼有沒有規律可尋呢，其實是有的，我們可以參見這個帖子，這樣我們就可以通過DP的方法求出長度為k的二進位制數的無連續1的數字個數。由於題目給我們的並不是一個二進位制數的長度，而是一個二進位制數，比如100，如果我們按長度為3的情況計算無連續1點個數個數，就會多計算101這種情況。所以我們的目標是要將大於num的情況去掉。下面從頭來分析程式碼，首先我們要把十進位制數轉為二進位制數，將二進位制數存在一個字串中，並統計字串的長度。然後我們利用

這個帖子中的方法，計算該字串長度的二進位制數所有無連續1的數字個數，然後我們從倒數第二個字元開始往前遍歷這個二進位制數字符串，如果當前字元和後面一個位置的字元均為1，說明我們並沒有多計算任何情況，不明白的可以帶例子來看。如果當前字元和後面一個位置的字元均為0，說明我們有多計算一些情況，就像之前舉的100這個例子，我們就多算了101這種情況。我們怎麼確定多了多少種情況呢，假如給我們的數字是8，二進位制為1000，我們首先按長度為4算出所有情況，共8種。仔細觀察我們十進位制轉為二進位制字串的寫法，發現轉換結果跟真實的二進位制數翻轉了一下，所以我們的t為"0001"，那麼我們從倒數第二位開始往前遍歷，到i=1時，發現有兩個連續的0出現，那麼i=1這個位置上能出現1的次數，就到one陣列中去找，那麼我們減去1，減去的就是0101這種情況，再往前遍歷，i=0時，又發現兩個連續0，那麼i=0這個位置上能出1的次數也到one陣列中去找，我們再減去1，減去的是1001這種情況，參見程式碼如下：

解法一：

class Solution {
public:
    int findIntegers(int num) {
        int cnt = 0, n = num;
        string t = "";
        while (n > 0) {
            ++cnt;
            t += (n & 1) ? "1" : "0"; 
            n >>= 1;
        }
        vector<int> zero(cnt), one(cnt);
        zero[0] = 1; one[0] = 1;
        for (int i = 1; i < cnt; ++i) {
            zero[i] = zero[i - 1] + one[i - 1];
            one[i] = zero[i - 1];
        }
        int res = zero[cnt - 1] + one[cnt - 1];
        for (int i = cnt - 2; i >= 0; --i) {
            if (t[i] == '1' && t[i + 1] == '1') break;
            if (t[i] == '0' && t[i + 1] == '0') res -= one[i];
        }
        return res;
    }
};

下面這種解法其實蠻有意思的，其實長度為k的二進位制數字符串沒有連續的1的個數是一個斐波那契數列f(k)。比如當k=5時，二進位制數的範圍是00000-11111，我們可以將其分為兩個部分，00000-01111和10000-10111，因為任何大於11000的數字都是不成立的，因為有開頭已經有了兩個連續1。而我們發現其實00000-01111就是f(4)，而10000-10111就是f(3)，所以f(5) = f(4) + f(3)，這就是一個斐波那契數列啦。那麼我們要做的首先就是建立一個這個陣列，方便之後直接查值。我們從給定數字的最高位開始遍歷，如果某一位是1，後面有k位，就加上f(k)，因為如果我們把當前位變成0，那麼後面k位就可以直接從斐波那契數列中取值了。然後標記pre為1，再往下遍歷，如果遇到0位，則pre標記為0。如果當前位是1，pre也是1，那麼直接返回結果。最後迴圈退出後我們要加上數字本身這種情況，參見程式碼如下： 

解法二：

class Solution {
public:
    int findIntegers(int num) {
        int res = 0, k = 31, pre = 0;
        vector<int> f(32, 0);
        f[0] = 1; f[1] = 2;
        for (int i = 2; i < 31; ++i) {
            f[i] = f[i - 2] + f[i - 1];
        }
        while (k >= 0) {
            if (num & (1 << k)) {
                res += f[k];
                if (pre) return res;
                pre = 1;
            } else pre = 0;
            --k;
        }
        return res + 1;
    }
};

類似題目：

參考資料：