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題目描述

求∑∑((nmodi)∗(mmodj))其中1<=i<=n,1<=j<=m,i≠j$\sum \sum ((nmodi)\ast (mmodj))其中1<=i<=n,1<=j<=m,i\ne j$。

例如對於 n=3,m=4 :
答案為(3 mod 1)(4 mod 2)+(3 mod 1) (4 mod 3)+(3 mod 1) * (4 mod 4) + (3 mod 2) * (4 mod 1) + (3 mod 2) * (4 mod 3) + (3 mod 2) * (4 mod 4) + (3 mod 3) * (4 mod 1) + (3 mod 3) * (4 mod 2) + (3 mod 3) * (4 mod 4) = 1

題解

可以先去做做餘數求和 ，我的題解。

一開始看漏了i≠j$i\ne j$，以為這和餘數求和一樣…
但是既然又和取模的和有關，與餘數求和的思想是差不多的。
我們有amodb=a−floor(a/b)∗b$amodb=a-floor(a/b)\ast b$
於是我們再來推一波式子:

前面那段就是餘數求和的方法，不多講，我們來看後面一段。
不妨設n≤m$n\le m$
那麼:
∑ni=1((nmodi)∗(mmodi))$\sum _{i=1}^n((nmodi)\ast (mmodi))$
=∑((n−n/i∗i)∗(m−m/i∗i))$=\sum ((n-n/i\ast i)\ast (m-m/i\ast i))$
令n/i=x,m/i=y$n/i=x,m/i=y$
原式化為:
∑(mn−mxi−nyi+xy∗i2)$\sum (mn-mxi-nyi+xy\ast i^2)$
∑(mn+xy∗i2−(mx+ny)∗i)$\sum (mn+xy\ast i^2-(mx+ny)\ast i)$

到這裡式子已經推的差不多了。
我們發現可以對x,y$x,y$進行除法分塊，且前面的mn可以預先處理掉。
於是我們著眼於求出一個塊內的