概率論與數理統計——Z=X+Y 的分佈

阿新 • • 發佈：2019-02-15

一、連續型隨機變數Z=X+Y 的分佈

1、設(X,Y)的概率密度為f(x,y)，則Z=X+Y的分佈函式為：

故Z=X+Y的概率密度為：

$f_{Z}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(z-y,y)dy$

由X，Y的對等性， $f_{Z}(z)$ 又可寫成

$f_{Z}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-x)dx$

2、卷積公式：

將X和Y相互獨立時，Z=X+Y的密度函式公式稱為卷積公式即：

$f_{Z}(z)=\int _{-\infty}^{+\infty}(z-y)f_{Y}(y)dy=\int _{-\infty}^{+\infty}f_{X}(x)f_{Y}(z-x)dx$

二、離散變數的獨立和分佈

$X_{1},X_{2},...,X_{n}$ 獨立且均服從B(1,p),則 $X_{1},X_{2},...,X_{n}\sim B(n,p)$
$X\sim B(n_{1},p),\: Y\sim (n_{2},p)$ ,兩者獨立，則 $X+Y\sim B(n_{1}+n_{2},p)$
$X\sim B(\lambda _{1}),\: Y\sim (\lambda _{2})$ 兩者獨立，則 $X+Y\sim B(\lambda _{1}+\lambda _{2})$

概率論與數理統計——Z=X+Y 的分佈

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