格路徑與Schroder數

參考資料：《組合數學》- Richard A.Brualdi

一.格路徑

首先我們將格路徑的概念形式化。
考慮只有整點的平面上的兩個點(r,s),(p,q)，並且有p≥r,q≥s$p\ge r,q\ge s$。然後我們再來考慮從(r,s)到達(p,q)的路徑。每一步是水平步(horizontal step)H(橫座標+1，縱座標不變)或者是垂直步(vertical step)V(橫座標不變，縱座標+1)。那麼就可以用水平線和垂直線講兩個點連線起來。同時這樣一條路徑可以由一個含有H,V的數列表示出來。（感覺就是簡單的組合計數呢…）

1.定理&例子

(1).

定理內容：從(r,s)到(p,q)的矩陣格路徑的數目為：Cp−rp−r+q−s=Cq−sp−r+q−s$C_{p-r+q-s}^{p-r}=C_{p-r+q-s}^{q-s}$
證明非常簡單。就是考慮有H,V組成的那個序列，就有p-r+q-s個位置，填入p-r個H,填入q-s個V，那就是簡單的組合計數而已…
現在我們來看這個問題的變種。我們在問題上加上一個限制：考慮從(0,0)到(p,q)的矩形格路徑，我們限制路徑在座標平面的直線y=x的下方或上方。
現在假設是上方，再假設H=1,V=-1,那麼就有sum[k]>=0恆成立，根據之前Part1講Catalan數的部落格可知，這就是一個Catalan數的經典模型。那麼路徑數就是C[p+q]了。那麼只要p==q，我們就可以利用Catalan數的各種公式很快速地求出所有的路徑數了。（這也算一個定理了吧，但是由於主要和和Catalan有關，就不單獨寫出來了）

(2).

可見之前的結論並不是萬能的。現在假設是在下方，並且有p>=q，那麼有：

Ans=p−q+1p+1C(p+q,q)$$Ans={\displaystyle \frac{p-q+1}{p+1}}C(p+q,q)$$
為了得到這個結論，我們通過之前的推導Catalan數的方法來推導這道題。
那麼我們就模仿之前的定義。定義B為轉過對角線的格路徑集合，那麼用|tot|-|B|就是答案。然後|B|其實等於從(0,-1)到(p,q-1)的所有觸及對角線或者是穿過對角線格路徑的數量（其實就是向下平移了一格）。且路徑是一一對應的。現在考慮其中的一條路徑（從(0,-1)開始的）L。這條路徑的第一個觸碰到y=x的點為(d,d)，那麼設從(0,-1)到(d,d)的點為L1,剩餘的路徑是L2,那麼把L1和L2連線起來就是L了。
現在我們再來對映一下。將L1沿著y=x進行翻轉，得到L1’。那麼我們可以發現，將一條從(-1,0)到(p,q-1)的一條路徑是必然經過y=x的，然後我們將這樣一條路徑中的從(-1,0)到(d,d)的點翻折，得到的是一條從(0,-1)到達(p,q-1)且觸碰到y=x的一條路徑。這就意味著這樣的一條路徑與L是一一對應的，也與B集合中的一條路徑一一對應。也就是說|B|等於從(-1,0)到(p,q-1)的格路徑的數目。這樣子再來套用定理1，就有：

|B|=Cq−1p+1+q−1=Cq−1p+q$|B|=C_{p+1+q-1}^{q-1}=C_{p+q}^{q-1}$
因此就可以計算答案了：
Ans=|tot|−|B|=Cpp+q−Cq−1p+q$Ans=|tot|-|B|=C_{p+q}^p-C_{p+q}^{q-1}$
=(p+q)!q!p!−(p+q)!(q−1)!(p+1)!=p−q+1p+1Cpp+q$={\displaystyle \frac{(p+q)!}{q!p!}}-{\displaystyle \frac{(p+q)!}{(q-1)!(p+1)!}}={\displaystyle \frac{p-q+1}{p+1}}{C}_{p+q}^p$(可以自己隨便化簡一下啦)
得證。

(3).

好像到現在才看見格路徑的定義呢…加入一種新的步叫做對角步(diagonal step)(橫縱座標都加一)。並且定義K(p,q:rD)為從(0,0)到(p,q)使用了r個對角步D的路徑的數目（又叫HVD格路徑）。那麼其實K(p,q:0D)就是之前我們一直在提的問題啦。
顯然r>min(p,q)的話，K(p,q,rD)=0。
那麼就有r<=min(p,q)，則有：
K(p,q:rD)=(p+q−r)!(p−r)!(q−r)!r!$K(p,q:rD)={\displaystyle \frac{(p+q-r)!}{(p-r)!(q-r)!r!}}$
那麼就有：
K(p,q)=∑min(p,q)r=0(p+q−r)!(p−r)!(q−r)!r!$K(p,q)=\sum _{r=0}^{min(p,q)}{\displaystyle \frac{(p+q-r)!}{(p-r)!(q-r)!r!}}$
這其實就是一個有重複的排列的推理而已。除去r個對角步D之後，就有p-r個H，有q-r個V,就是含有r個D，有p-r個H，有q-r個V的可重複排列了。建議自己推一下，比較簡單，這裡就不詳細證明了。

(4).

定義R(p,q)為從(0,0)到(p,q)的在對角線下方（下對角線HVD格路徑）的HVD格路徑的數目。R(p,q:rD)為從(0,0)到(p,q)的正好使用了r個對角步D的下對角線HDV格路徑數目。
設p和q為正整數，且p>=q，且0<=r<=q，那麼有：
R(p,q)=p−q+1p−r+1(p+q−1)!(p−r)!(q−r)!r!=p−q+1p−r+1K(p,q,rD)