Catalan數

前10項

\(1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862\)

（註：從第\(0\)項起）

計算式

• \(C_n=\frac{1}{n+1}\dbinom{2n}{n}\)
• \(C_{n+1}=\sum_{i=0}^nC_iC_{n-i}\)
• \(C_n=\dbinom{2n}{n}-\dbinom{2n}{n-1}\)
• \(C_n=\frac{4n-2}{n+1}C_{n-1}\)

組合意義

1、由\(n\)個\(+1\)和\(n\)個\(-1\)構成的\(2n\)項序列中，滿足\(\forall k\in[1,2n],\sum_{i=1}^ka_i\geq 0\)

的序列數量

大家都知道結論：\(C_n=\frac{1}{n+1}\dbinom{2n}{n}\)，在這裏給出證明

考慮從相反的方面進行考慮，即用總序列數\(\dbinom{2n}{n}\)減去不合法的序列數

對於每一個不合法的序列，必定存在一個最小的\(k\)使得\(\sum_{i=1}^k a_i<0\)，也就是有\(\sum_{i=0}^{k-1}a_i=0\)且\(a_k=-1\)

很明顯\(k\)是奇數

考慮將前\(k\)項取相反數，那麽該序列變成了一個含有\(n+1\)個\(+1\)和\(n-1\)個\(-1\)的序列，容易知道一個不合法的原序列只會對應一個新序列

同理，在新序列中一定會存在一個\(k\)

因此不合法的序列和新序列是一一映射的關系，而新序列的總數也就是\(\dbinom{2n}{n-1}\)

於是最終答案就是\(\dbinom{2n}{n}-\dbinom{2n}{n-1}=\frac{1}{n+1}\dbinom{2n}{n}\)

由這一條組合意義可以引申出許多本質一樣的組合意義

• 在網格圖上從\((0,0)\)走到\((n,n)\)，每次只走一個單位長度，不走回頭路，且不穿過（可碰到）直線\(y=x\)的方案數。（向右：\(+1\)，向上：\(-1\)）
• \(2n\)個人排隊買票，票價5角，有\(n\)
  個人持有1元硬幣，另\(n\)個人持有\(5\)角硬幣，求不使用額外的\(5\)角錢的排隊方案（\(5\)角：\(+1\)，\(1\)元：\(-1\)）

2、凸\(n+1\)邊形被其內部不相交的對角線劃分成三角形區域的方案數

這是上面的第二個式子\(C_{n+1}=\sum_{i=0}^nC_iC_{n-i}\)，我們有\(f_n=\sum_{i=2}^{n-1}f_if_{n-i-1}\)，故\(f_n=C_{n+2}\)

類似的還有

• \(n\)個節點的不同的二叉樹，考慮在中序遍歷中根節點的位置即可

3、其它

如：[HNOI2009]有趣的數列

本質上和第一點是相同的，關鍵是對偶數位置的轉化

特殊計數序列——Catalan數