一. 遞迴
1.概念
直接或間接地呼叫自身的演算法。用函式自身給出定義的函式稱為遞迴函式。
2.說明
（1）每個遞迴函式都必須有非遞迴定義的初始值，否則，遞迴函式就無法計算。
（2）遞迴式的主要表示式是用較小自變數的函式值來表示較大自變數的函式值。
3°.一種特殊的遞迴函式：雙遞迴函式（一個函式及他的一個變數由函式自身定義）

二. 分治法
1.基本思想
將一個規模為n的問題分解為k個規模較小的子問題，這些子問題相互獨立且與原問題相同。遞迴地解決這些子問題，然後將各子問題的解合併得到原問題的解。
2.演算法複雜度計算

還有一個常見的遞迴式（不是分治法解決時的複雜度表示式）：

問題：排列的字典序問題
問題描述：
n個元素{1,2,, n }有n!個不同的排列。將這n!個排列按字典序排列，並編號為0，1，…，
n!-1。每個排列的編號為其字典序值。例如，當n=3時，6 個不同排列的字典序值如下：

演算法設計：
給定n以及n個元素{1,2,, n }的一個排列，計算出這個排列的字典序值，以及按字典
序排列的下一個排列。

資料輸入：
輸出元素個數n。接下來的1 行是n個元素
{1,2,, n }的一個排列。

結果輸出:
將計算出的排列的字典序值和按字典序排列的下一個排列輸出。第一行是字典序值，第2行是按字典序排列的下一個排列。

Sample Input

8
2 6 4 5 8 1 7 3

Sample Output

8227
2 6 4 5 8 3 1 7

分析：其實這題並沒有用上前面說的遞迴和分治法，分析一下找找規律就可以解決的。設這排列的第一個數是k，則以1,2，…，k-1開頭的所有排列都在目標排列之前，共有（k-1）*(n-1)!個；以此類推再分析第二個（注意要排除前面已經出現數的排列）…..到第n-1個只有一種排列或沒有；然後求和即可得到字典序值。

C++程式碼：（輸入輸出分別在input.txt和output.txt檔案中）

#include<iostream>
#include<fstream>
using namespace std;
//the factorials of n
int factorial(int n){
    int answer=1;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        answer *= i;
    return answer;
}
int main(){
    //initiate file
    ofstream createFile("input.txt");
    createFile << "8" << endl;
    createFile << "26458173" << endl;
    createFile.close();

    ifstream ReadFile("input.txt");
    ofstream WriteFile("output.txt");

    //read data from input.txt
    char num;
    ReadFile.get(num);
    int nums = (int)num - 48;
    char line;
    ReadFile.get(line);
    char *chara = new char[nums];
    for (int i = 0; i < nums;i++)
        ReadFile.get(chara[i]);
    int *a = new int[nums];
    for (int i = 0; i < nums; i++)
        a[i]=(int)chara[i]-48;

    //find its order:
    int cnt=0;
    for (int i = 0; i < nums; i++){
        for (int j = 1; j < a[i]; j++){
            bool judge = 1;
            for (int k = 0; k < i; k++)
                if (j == a[k])
                    judge = 0;
            if (judge)
                cnt += factorial(nums - i - 1);
        }
    }
    cout << cnt << endl;
    WriteFile << cnt << endl;

    //find the next one:
    for (int i = nums-2; i >= 0;i--)
        if (a[i]>a[nums - 1]){
        int temp = a[i];
        for (int j = i + 1; j <= nums - 1; j++)
            a[j-1] = a[j];
        a[nums-1] = temp;
        }
        else{
            for (int j = nums - 1; j >= i;j--)
                if (a[i] >= a[j]){
                int temp = a[i];
                a[i] = a[j + 1];
                a[j + 1] = temp;
                break;
                }
            break;
        }
        for (int i = 0; i < nums; i++){
            cout << a[i];
            WriteFile << a[i];
        }
    system("pause");
}