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(2012-08-28 15:57:38) 轉載▼

標簽： 雜談

參考文獻： 信號完整性分析 "信息傳輸調制和噪聲"P31， "傅立葉變換的數學再認識"及若幹網上博客。 目錄 信號分析方法概述 時域 頻域 時域與頻域的互相轉換 傅立葉變換 原理 傅立葉變換 分類 傅立葉級數的五個公式(周期性函數) 傅立葉積分(非周期性函數) 振幅譜和相位譜的關系 功率譜 傅立葉變換推導出：時移原理與頻移原理，對偶性質 時間-頻率 間的對應關系。 對應關系1：時間變化速率(即時域信號的變化速率) 與 頻譜 呈正比關系 對應關系2，時間周期T 與 頻譜 ：呈反比關系 對應關系3：脈沖寬度 與 頻譜：呈反比關系 用脈沖寬度 定義帶寬 頻譜、幅度譜、相位譜、功率譜 與 周期性函數的頻譜 周期函數、非周期函數的頻譜總結，與對稱頻譜的意義 離散傅立葉變換與抽樣：時域的抽樣點數與頻域點數的關系 傅立葉變換與正交性 傅立葉變換的 思想總結與優點
時域 的物理意義 頻域 的物理意義 1，頻域的物理意義 2，傅立葉變換與諧波 3，傅立葉反變換與諧波疊加 4，帶寬與時鐘頻率、脈沖寬度 關鍵技術點解釋 1，IFFT反變換後各諧波如何疊加在一起？ 2，什麽是正交?正交的條件是什麽?傅立葉變換後的諧波為什麽一定是正交的?傅立葉反變換之前的頻譜要滿足什麽條件? 3，為什麽說時域上波形急劇變化，頻域上就有很高的頻率分量 4, 頻域中幅值 與時域中的幅值 有什麽關系？ 5，采樣 傅立葉變換的缺點 =================================

時域 的物理意義 雖然時域、頻域都是信號的基本屬性。但時域可視為日常可觸摸到的領域，因為人類已經適應了時間、空間、大小這些概念。時域也是以時間為輸入參數的函數，函數的輸出值是信號的幅值，它與電壓成正比。 圖 典型的時鐘波形 時間單位有s:秒.us：微秒，ns:納秒。中間的比值都是1000，即K.這樣，1G=1000M，1M=1000K，因為T=1/f,所以1ns=1/1Ghz，可推斷出上圖中波形在時域的時鐘頻率 f=1G Hz。 註：這個f與頻域中的頻率不同，應該將f視為幅值隨時間變化的速率，或時鐘頻率，在傅立葉變換中已經證明：基波頻率=時域信號的時鐘頻率. 由上圖可知，時鐘波形的兩個重要參數是時鐘周期和上升時間。圖中標明了1GHz時鐘信號的時鐘周期(1/1G)和10-90上升時間。下降時間一般要比上升時間短一些，有時會出現更多的噪聲。 時鐘周期就是時鐘循環重復一次的時間間隔，通常用ns度量。時鐘頻率Fclock，即1秒鐘內時鐘循環的次數，是時鐘周期Tclock的倒數。 上升時間與信號從低電平跳變到高電平所經歷的時間有關，10-90上升時間，指信號從終值的10%跳變到90%所經歷的時間 解釋：上升時間越短(說明開關的電器件轉得越快)，頻域的頻譜越寬。 頻域 的物理意義 時域以時間軸為坐標，頻域分析是把信號變為以頻率軸為坐標表示出來。橫坐標是頻率，縱坐標是幅值。有些信號在時域上是很難看出什麽特征的，但是如果變換到頻域之後，就很容易看出特征了。 頻域，並不是日常生活中存在的實際概念，即非真實概念，而是一個數學概念。 傅立葉級數已經證明， 1,時域中任何波形都可以由無限多的正弦波疊加在一起而合成，所以時域中的波形可以經數學變換成無限多的的正弦波。每個正弦波的時間速率不同，即頻率不同。 2,任何兩個頻率不同的正弦波都是正交的。如果將兩個正弦波相乘並在整個時間軸上求積分，則積分值為零。這說明可以將不同的頻率分量相互分離開。 傅立葉變換與諧波 時域中分解出的每個正弦波對應頻域中的一個頻率。運用頻域的首要條件就是能夠將波形從時域變換到頻域，用傅立葉變換可以做到這一點。 對於模擬信號，采用傅立葉積分。傅裏葉積分是在整個時間軸上從 負無窮大 到 正無窮大 做積分，得到的結果是 零頻率 到 正無窮大頻率上連續的頻域函數。在這個區間上，每個連續的頻率值都對應一個幅值。 圖： 1GHz時鐘信號在時域中的一個周期上的表示（上圖）和在頻域中的表示（下圖） 時域的波形變換成頻域中的一個個頻率，下一張圖也稱為頻譜圖。 正弦波頻率分量及其幅度的集合稱為頻譜，每一分量稱為諧波； 在頻域中，對波形的描述變為不同正弦波頻率值的集合。每一個頻率分量都有相關的幅度及相位，把所有這些頻率值及其幅度值的集合稱為波形的頻譜。 理解關鍵點： 1，每個頻率對應時域波形的一個正弦波分量。 2，每個頻率的幅值不同，其計算方式見下面的An公式。頻域中多個頻率的幅值疊加後得到時域中的最大幅值1（當時域上某個時間點時，所有正弦波分量會達到同相，此時所有正弦波分量波的疊加會達到時域中的最大幅值）。 3，疊加的方法見“傅裏葉反變換”部分。 4,FI奇偶諧波都有值。而DFT中只有奇次諧波有幅值。 上圖中上一張圖如果抽樣量化為變為一個個離散的數據點，則使用離散傅裏葉變換（DFT），將離散信號變換到頻域中。快速傅裏葉變換（FFT）適應於時域中的數據點個數是2的冪數的情況，如256點，512點或者1024點，它的優點是計算速率比DFT快100到10000倍。 對於DFT，頻譜中僅存在某些頻率值，這些值取決於時間間隔或重復頻率的選擇。頻譜中的正弦波頻率應是重復頻率的整數倍。若時鐘頻率為1GHz，那麽DFT就只有1GHz，2GHz，3GHz等正弦波分量。 第一個正弦波頻率稱為一次諧波，第二個正弦波頻率稱為二次諧波，依次類推。每個諧波都有不同的幅度和相位，所有諧波及其幅度的集合稱為頻譜。 采用DFT可以精確計算各個頻率分量的幅度。所有偶次諧波（如2GHz，4GHz，6GHz）的幅度都為0，只存在奇次諧波的值。而0次諧波是直流分量， 奇次諧波的幅度An，如式所示： An是n次諧波的幅度， π是常量，為3.14159… n是諧波數，為奇數 任何諧波的幅度都可由2/（nπ）計算得出。 比如上圖中：1次諧波幅值=2/(1*3.14)=0.63, 還有一個特殊的頻率值：0Hz，即0次諧波，它是直流分量，其幅度與信號的均值相等。在方波占空比為50%的情況下，零次諧波幅度為0.5V。 傅立葉反變換與諧波疊加 從頻譜變成時域波形的方法是：傅裏葉反變換，它把每個頻率分量變換成它的時域正弦波，再將其全部疊加。 頻域每個分量可轉換成有多個時域的波（頻率各不同),需要疊加以形成時域上傳輸的波形（上圖中為 理想方波 ）。 頻域中的每個分量都是時域中定義在t=-∞到+∞的正弦波。為了重新生成時域波形，可以提取出頻譜中描述的所有正弦波，並在時域中的每個時間間隔點處把它們疊加。從低頻端開始，把頻譜中的各次諧波疊加，就可得到時域中的波形。 對於1GHz理想方波的頻譜，第一項是零次諧波，其幅度為0.5V。這個分量描述了時域中的直流常量。第二個分量是一次諧波，這在時域中是頻率為1GHz、幅度為0.63V的正弦波。它與前一項疊加，在時域中得到均值偏移為0.5V的正弦波。這與理想方波的近似並不是很好，如圖所示。 以“零次諧波+一次諧波”為例，0ns時，疊加後波形以0.5v開始。疊加後波形最高點當然是0.5v+0.63v=1.13v。（相位呢?\\） 將所有相繼的高次諧波與已有波形想疊加，得出的結果會越來越像方波。 帶寬用來表示頻譜中有效的最高正弦波頻率分量，為了充分近似時域波形的特征，這是需要包含的最高正弦波頻率，所有高於帶寬的頻率分量都可忽略不計。 如果只用零次，一次和三次諧波合成時域波形，那麽所得波形的帶寬只達到三次諧波的值，即3GHz。設計時，這個波形的最高正弦波頻率分量是3GHz，其他正弦波頻率分量的幅度為零。 如果像上圖那樣增加更高次諧波來生成波形，那麽設計的帶寬為7GHz，19GHz和31GHz。這個波形中有效的最高正弦波頻率分量就是31次諧波，即此波形的帶寬為31GHz。 可以從疊加圖中看到，最高正弦波頻率分量越大，即帶寬越大，則10-90上升時間就越短，與理想方波的波形就越接近。 思考：所以時域上波形急劇變化，頻域上就會有很高的頻率分量 已經證明：帶寬與上升時間的倒數有關。BW=0.35/RT。RT表示10%-90%上升時間，單位為ns。BW表示帶寬，單位為GHz。 帶寬就是波形頻譜中有效的最高正弦波頻率分量。對信號而言，所謂的有效是基於信號的幅度與同頻率理想方波的幅度相比較而言的。 帶寬與時鐘頻率、脈沖寬度 因為帶寬與信號的上升時間有關。對兩個不同的波形，可以有相同的時鐘頻率，但上升時間和帶寬卻很可能不同。僅知道時鐘頻率並不能告訴我們帶寬，下圖展示了四種不同的波形，每個波形的時鐘頻率都1GHz。然而它們的上升時間卻不同，因此帶寬也不同。 信號帶寬定義為B， ， 減少。帶寬會增大。 所以時域離散時，則頻譜是連續函數。

 關鍵技術點解釋 

1,IFFT反變換後各諧波如何疊加在一起？ 

不同頻率正弦波分量，在時域的疊加是按照各正弦波波形在時間軸上進行幾何疊加（即矢量和）。 由於各正弦波的頻率、初相位、幅度都不同，所以疊加後的波形很可能不再是正弦信號，但一定是周期信號。且周期、頻率=基波正弦波的周期、頻率。 兩個正弦波偶爾同相時，會增加信號幅度，而異相減少了信號幅度。 由於正弦波用sinx與cosx表示（正弦波sinx可以轉化為余弦波cosx），所以 正弦波疊加符合 三角函數 的加法運算法則，即 比如某個正弦波分量的表示方法與時域圖形如下： 多個正弦波函數加在一起，使用以下的運算法則 可以看出：兩個三角函數加在一起後，相位會變化。 舉例如下： 1， （其中輔助角 與點（a,b）在同一象限，且 ） 即原本的正弦波初相都為0，但疊加後波形的相位卻是 2, 這時：原正弦波是有初相，但 疊加後波形的初相發生變化。 有一個flash動畫，非常好的表現了（不同頻率正弦波分量疊加的波形）疊加過程。見 http://physics.seu.edu.cn/phycourse/phycourse/Photo/UploadPhotos/200710/20071030113553718.swf 舉例： 同振幅不同頻率的正弦波疊加，頻譜特點與波形特點 1.頻譜特點： 當有n個同幅值、不同頻率的信號疊加時，其合成信號的頻譜圖就是由這n條長度相同、且位於這n個頻率點的譜線組成。可以看到：頻譜是不連續的。 2.波形疊加特點： 疊加後波形的形狀與各信號的頻率、初相、幅值有關，雖然不再是正弦信號，但一定是周期信號，且周期與最低頻率分量的信號周期相同。
相差π/2的兩個正弦波疊加出來的波形是怎麽樣的 答： 首先要看這兩個正弦波的初相位是怎樣的，你的問題太不具體了，並沒有給出這兩個正弦波的初相位。 總的來講，兩個初相位不同正弦波其疊加後的波形可能是各種各樣的，比如說，如果兩個正弦波的初相位正好相差π，那麽它們的疊加正好是一條直線，而如果它們的初相位相差2π，那麽它們疊加後波形不變，只是振幅變為原來的2倍。 總之，兩列正弦波疊加後，振動方向相同的總振幅為兩列波振幅之和，方向不變；振動方向不相同的總振幅為兩列波振幅之差，方向與絕對值大者相同。 參看初中物理課本，有關振動的章節
2，什麽是正交?正交的條件是什麽?傅立葉變換後的諧波為什麽一定是正交的?傅立葉反變換之前的頻譜要滿足什麽條件? 正交最早出現於三維空間中的向量分析。 在3維向量空間中，兩個向量的內積 如果是零， 那麽就說這兩個向量是正交的。 換句話說，兩個向量正交意味著它們是相互垂直的。向量α與β正交，記為α⊥β。 對於傅立葉變換有關的信號分析來說，首先要知道一個基本原則：在三角函數系中任何不同的兩個函數的乘積在區間[-π,π]上的積分等於0。三角函數系即：{1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,……,cosnx,sinnx,……} 　在區間[-π,π]上正交，就是指在三角函數系⑴中任何不同的兩個函數的乘積在區間[-π,π]上的積分等於0，即 　　 ∫[-π->π]cosnxdx=0 　　 ∫[-π->π]sinnxdx=0 　　 ∫[-π->π]sinkxcosnxdx=0 　　 ∫[-π->π]coskxcosnxdx=0 　　 ∫[-π->π]sinkxsinnxdx=0 　　(k,n=1,2,3.....,k≠n)

 在傅立葉級數公式

（傅立葉公式2）中可知： 

時域f(t)信號的第k個諧波是S(k)=AkCosWkt+BkSinWkt，它即f(t)的第k個頻率分量對應的正弦波表示。 那麽S(k)與S(m)即為第K個諧波與第m個諧波。 根據積分運算法則：兩個函數的積分=這兩個函數積分的和，常數與函數f(x)乘積的積分=常數與函數f(x)的積分的乘積。 再加上提到的三角函數系的積分關系。可以容易計算出： 當k與m不相等時，可以得出S(k)與S(m)的乘積在區間[-T,T]上的積分=0，T為時域原信號的周期。 即：頻域任意兩個信號之間是正交的。這兩個信號以頻率為參數，可視為兩個子信道的信號。 而時域信號f(t)，轉換為傅立葉級數表示法後，與任一個諧波（ 如S(k) )相乘後在區間[-T,T]取積分，其結果設為G。也可以很容易計算出：G中只包括了 S(K)與常數的乘積，而濾掉了其它諧波（S(m),m!=K)。類似於傅立葉級數中求an的計算方法，見下 即：OFDM接收機可以解調的原理。 所以 在OFDM接收機解調時，在整個符號周期內分別用對於 OFDM符號*每個子載波頻域點對應諧波信號 後再積分，可以分解出每個子信道符號出來 ，因為每個子載波頻域諧波信號表達式是接收機可以自行產生的 ） 從傅立葉級數公式對於Wn的定義 可知，每個諧波的頻率有對應關系。即頻譜上頻率間隔。 這就是OFDM發射機側IFFT運算前各子載波應該滿足的關系。 3,為什麽說時域上波形急劇變化，頻域上就有很高的頻率分量 時域上波形急劇變化，使波產生了吉布斯現象。所謂吉布斯現象就是用有限次諧波分量來近似原信號，在不連續點將出現過沖，過沖峰值不隨諧波分量增加而減少，且為跳變值的9% f(t)=cos(t) 與f(t)=cos(t)+cos(100000t)在時域波形上哪個變化快呢？在頻域就會反映出來了 這也符合：上升時間越短，帶寬越大。 4. 頻域中幅值 與時域中的幅值 有什麽關系？ 幅值絕對不一樣，除非是正弦信號這類頻譜分量只有一條豎線的信號。一般的信號的頻譜分量非常豐富，這些所有的頻率分量的幅值疊加起來才是時域裏面信號的真實幅值。比如假設有個時域信號的幅值為9，分解到頻譜出現4個不同頻率的分量F1,F2,F3,F4，這四個分量的幅值之和才是9，單個是不能比的。 至於頻率，如上所示那肯定是不一樣的啦。其實把周期信號時域變換到頻域也就是先把一個f為頻率的信號分解成很多個各種各樣頻率的小信號，裏面有f1,f2,f3,f4,......這些頻率有的大於f，有的小於f，然後再畫一條f作x軸，幅值作y軸的直角坐標系，把每個小頻率對應的幅值畫進去。 5，采樣 來自維基百科, 采樣定理，又稱香農采樣定理，奈奎斯特采樣定理，是信息論，特別是通訊與信號處理學科中的一個重要基本結論.E. T. Whittaker(1915年發表的統計理論),克勞德·香農 與Harry Nyquist都對它作出了重要貢獻。另外,V. A. Kotelnikov 也對這個定理做了重要貢獻。 采樣是將一個信號（即時間或空間上的連續函數）轉換成一個數值序列（即時間或空間上的離散函數）。采樣定理指： 如果信號是帶限的，並且采樣頻率高於信號帶寬的一倍，那麽，原來的連續信號可以從采樣樣本中完全重建出來。 帶限信號變換的快慢受到它的最高頻率分量的限制，也就是說它的離散時刻采樣表現信號細節的能力是有限的。采樣定理是指，如果信號帶寬小於奈奎斯特頻率（即采樣頻率的二分之一），那麽此時這些離散的采樣點能夠完全表示原信號。高於或處於奈奎斯特頻率的頻率分量會導致混疊現象。大多數應用都要求避免混疊，混疊問題的嚴重程度與這些混疊頻率分量的相對強度有關。 從信號處理的角度來看，此采樣定理描述了兩個過程：其一是采樣，這一過程將連續時間信號轉換為離散時間信號；其二是信號的重建，這一過程離散信號還原成連續信號。 連續信號在時間（或空間）上以某種方式變化著，而采樣過程則是在時間（或空間）上，以T為單位間隔來測量連續信號的值。T稱為采樣間隔。在實際中，如果信號是時間的函數，通常他們的采樣間隔都很小，一般在毫秒、微秒的量級。采樣過程產生一系列的數字，稱為樣本。樣本代表了原來地信號。每一個樣本都對應著測量這一樣本的特定時間點，而采樣間隔的倒數，1/T即為采樣頻率，f_s，其單位為樣本/秒，即赫茲(hertz)。 信號的重建是對樣本進行插值的過程，即，從離散的樣本x[n]中，用數學的方法確定連續信號x(t)。 六，傅立葉變換的缺點 傅裏葉變換具有良好的性質，能夠實現時域到頻域相互轉換，它實質是將f(t)這個波形分解成許多 不同頻率的正弦波的疊加。這樣我們就可以把對原函數f(t)的研究轉化為不同頻率分量的幅值和 相位的研究。從傅裏葉變換公式可以看出，它是以正弦波及其高次諧波為標準基的，因此它是對信 號的一種總體上的分析，具有單一的局部定位能力，也就是在時域的良好定位是以頻域的全部信號 分析為代價的，對頻域的良好定位是以時域的全部信號分析為代價的，時域和頻域分析具有分析上 的矛盾，傅立葉變換的頻率譜中要麽頻率是準確的而時間是模糊的，要麽時間是準確的而頻率是 模糊的，它不可能同時在時域和頻域都具有良好的定位的能力。傅立葉變換是建立在平穩信號的 基礎上的，在非平穩時變信號的分析上，它卻無能為力。 傅立葉變換把信號的時域特征和頻域特征聯系在一起，使我們可以從信號的時域和頻域兩個 角度觀察和分析信號，但是二者卻是絕對分離的，即在頻域不包含任何時域信息，在時域中同樣 找不到任何頻域信息的影子。對於傅立葉頻譜中的某一頻率，不知道這一頻率是何時產生的， 只能從全局上分析信號。這樣在信號分析中就面臨一對最基本的矛盾：時域和頻域的局部化矛盾 通過 Wiz 發布

傅裏葉變換與時域頻域關系