題解【[BJOI2012]算不出的等式】
題目背景emmm
\[\text{首先特判掉p=q時的情況(ans = }p^2-1\text{)}\]
\[\text{構造函數}f(k) = \left\lfloor \frac{kq}{p}\right\rfloor\]
\[\text{考慮這個函數}g(x)=\left\lfloor x \right\rfloor\text{的幾何意義}\]
\[\text{他表示在平面直角坐標系中,橫坐標為定值,縱坐標小於等於x的整點個數}\]
\[\text{好,那麽我們繼續來看f(k),他表示所有橫坐標為定值,縱坐標小於等於}\frac{kp}{q}\text{的數的個數}\]
\[\text{那麽構造}t(k)=\frac{kq}{p}\text{,那麽}\sum_{i=1}^{\frac{p-1}{2}}f(k)\text{的幾何意義是:}\]
\[\text{所有橫坐標}\in(1,\frac{p-1}{2})\;\text{的整數,縱坐標是整數的點數}\]
即
中藍線以下部分中整點數
~
\[\text{又因為}\left\lfloor t(k) \right\rfloor_{max} = \frac{q-1}{2}\]
\[\text{所有只用考慮縱坐標在直線}\{(0,0),(\frac{p-1}{2},\frac{q-1}{2})\}\text{以下的整點}\]
\[\text{然後p,q互換同理}\]
\[\text{所以就是長方形ABCD}(A(0,0),B(0,\frac{p-1}{2}),C(\frac{q-1}{2},\frac{p-1}{2}),D(\frac{q-1}{2},0)\text{中整點個數}\]
\[\text{所以答案就是}\frac{(p-1)\times(q-1)}{4}\]
然後你就切了這道藍題~
題解【[BJOI2012]算不出的等式】