1.貝葉斯定理有什麼用：
為了解決“逆概率”問題，它可以根據過去的資料來預測出概率，在有限的資訊下，能夠預測出概率。
2.什麼是貝葉斯定理：
公式： P(A|B) = P(A) * [P(B|A)/P(B)]
1）P(A)：先驗概率，即在不知道B事件的前提下，我們對A事件概率的一個主觀判斷。
2）P(B|A)/P(B)：可能性函式，這是一個調整因子，即新資訊B帶來的調整，作用是使得先驗概率更接近真實概率。
  2.1.如果“可能性函式”P(B|A)/P(B) > 1，意味著“先驗概率”被增強，事件A的發生的可能性變大；
  2.2.如果“可能性函式”= 1，意味著B事件無助於判斷事件A的可能性；
  2.3.如果“可能性函式”< 1，意味著“先驗概率”被削弱，事件A的可能性變小；
3）P(A|B)：後驗概率，即在B事件發生以後，我們對A事件概率的重新評估。
3.應用案例：
1）全概率公式：這個公式的作用是計算貝葉斯定理中的P(B)
   P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|A')P(A')
含義：如果A和A'構成一個問題的全部（全部的樣本空間），那麼事件B的概率，就等於A和A'的概率分別乘以B對這兩個事件的條件概率之和。
案例題：1號碗（30顆巧克力+10顆水果糖）、2號碗（20顆巧克力+20顆水果糖）
問：把碗蓋住，隨機選擇一個碗，從裡面摸出一顆巧克力，這顆巧克力來自1號碗的概率有多少？
解：來著1號碗記為事件A1,來著2號碗記為事件A2，那麼問題即為P(A|B)【即取出的是巧克力，來著1號碗的概率】
1）求先驗概率：
由於兩個碗是一樣的，所以在得到新資訊（取出的是巧克力之前），這兩個碗被選擇的概率相同。因此P(A1) = P(A2) = 0.5（A1表示來著1號碗，A2表示來著2號碗）
2）求可能性函式 P(B|A)/P(B)：
P(B|A1)表示從1號碗中（A1)取出巧克力(B)的概率
因為1號碗裡有30顆巧克力+10顆糖，所以P(B|A1) = 30/(30+10) = 75%
P(B) = P(B|A1)P(A1) + P(B|A2)P(A2) = [30/(30+10)]*0.5 + [20/(20+20)]*0.5 = 62.5%
可能性函式P(B|A1)/P(B) = 75%/62.5% = 1.2
3）帶入貝葉斯公式求後驗概率：
P(A1|B) = P(A1)*[P(B|A1)/P(B)] = 50%*1.2 =60%

2）如果將公式中的A換成“規律”，B換成“現象”：
   P(規律|現象) = P(現象|規律)[P(規律)/P(現象)]
還以前案例分析：這兒有兩個規律（從1號碗來規律、從2號碗來規律），有兩個現象（巧克力現象、水果糖現象）。而且知道兩個碗是一模一樣的，所以兩個規律的概率是一樣的，P(從1號碗來規律) = P(從2號碗來規律) = 0.5。同時知道P(巧克力現象|從1號碗來規律) = 30/（30+10）=0.75，P(水果糖現象|從1號碗來規律)=10/（30+10）=0.25；P(巧克力現象|從2號碗來規律) = 20/（20+20）=0.5 = P(水果糖現象|從2號碗來規律)。另外，P(巧克力現象)=（30+20）/（30+10+20+20）=0.625，P(水果糖現象)=（10+20)/(30+10+20+20)=0.375。現在的問題是觀察到了一個巧克力現象，要求推斷後面的規律，即從1號碗來的規律的概率有多大，也就是P(從1號碗來規律|巧克力現象)：
P(從1號碗來規律|巧克力現象) = P(巧克力現象|從1號碗來規律)*[P(從1號碗來規律)/P(巧克力現象)] = 0.75*[0.5/0.625]=60%

舉例2：
1所學校裡有60%的男生，40%的女生。男生總是穿長褲，女生則一半穿長褲、一半穿裙子。假設你走在校園裡，迎面走來一個穿長褲的學生，問男生的概率是多大？
這兒有兩個規律（是男生規律、是女生規律），而且知道規律的發生概率P(是男生規律)=0.6，P(是女生規律)=0.4。有兩種現象（穿長褲現象、穿裙子現象），假設有10個學生，6個男生、4個女生，那麼P(穿長褲現象)=（6+2）/10=0.8，P(穿裙子現象)=2/10=0.2。另外，P(穿長褲現象|是男生規律)=6/6=1，P(穿裙子現象|是男生規律)=0，P(穿長褲現象|是女生規律) = P(穿裙子現象|是女生規律)=0.5。現在，看到了一個穿長褲的學生，需要推斷是男生的概率，即P(是男生規律|穿長褲現象)：
P(是男生規律|穿長褲現象) = P(穿長褲現象|是男生規律)*[P(是男生規律)/P(穿長褲現象)]=1*[0.6/0.8]=0.75

舉例3：
一輛計程車在雨夜肇事，現場有一個目擊者說，看見該車是藍色。已知：1.該目擊者識別藍色和綠色計程車的準確率是80%；2.該地的計程車85%是綠色的，15%是藍色的。問：那輛肇事車是藍色的概率有多大？
有兩個規律：藍色的車、綠色的車，有兩個現象（或者叫觀察、資料、取樣等等）：車被看成藍色、車被看成綠色。從例子中的資訊可知：P(綠色的車)=0.85，P(藍色的車)=0.15。P(車被看成藍色|藍色的車)=0.8，P(車被看成綠色|藍色的車)=0.2，P(車被看成綠色|綠色的車)=0.8，P(車被看成藍色|綠色的車)=0.2。假設該地有100輛計程車，那麼，85輛是綠色的、15輛是藍色的。再者，目擊者只有80%的準確率，那麼，車被看成藍色的有：是藍色的看成了藍色的=15*0.8=12，是綠色的看成了藍色的=85*0.2=17，總計12+17=29，所以P(車被看成藍色)=29/100=0.29
P(藍色的車|車被看成藍色) = P(車被看成藍色|藍色的車)*[P(藍色的車)/P(車被看成藍色)] = 0.8*[0.15/0.29]=0.4138