在計算機內部，所有資訊都是用二進位制數串的形式表示的。整數通常都有正負之分，計算機中的整數分為無符號的和帶符號的。無符號的整數用來表示0和正整數， 帶符號的證書可以表示所有的整數。由於計算機中符號和數字一樣，都必須用二進位制數串來表示，因此，正負號也必須用0、1來表示。通常我們用最高的有效位來 表示數的符號（當用8位來表示一個整數時，第8位即為最高有效位，當用16位來表示一個整數時，第16位即為最高有效位。）0表示正號、1表示負號，這種 正負號數字化的機內表示形式就稱為“機器數”，而相應的機器外部用正負號表示的數稱為“真值”。將一個真值表示成二進位制字串的機器數的過程就稱為編碼。

    無符號數沒有原碼、反碼和補碼一說。只有帶符號數才存在不同的編碼方式。

帶符號整數有原碼、反碼、補碼等幾種編碼方式。原碼即直接將真值轉換為其相應的二進位制形式，而反碼和補碼是對原碼進行某種轉換編碼方式。正整數的原 碼、反碼和補碼都一樣，負數的反碼是對原碼的除符號位外的其他位進行取反後的結果（取反即如果該位為0則變為1，而該位為1則變為0的操作）。而補碼是先 求原碼的反碼，然後在反碼的末尾位加1 後得到的結果，即補碼是反碼+1。IBM-PC中帶符號整數都採用補碼形式表示。（注意，只是帶符號的整數採用補碼儲存表示的，浮點數另有其儲存方式。）

    採用補碼的原因或好處如下。

    採用補碼運算具有如下兩個特徵：

    1）因為使用補碼可以將符號位和其他位統一處理，同時，減法也可以按加法來處理，即如果是補碼錶示的數，不管是加減法都直接用加法運算即可實現。

    2）兩個用補碼錶示的數相加時，如果最高位（符號位）有進位，則進位被捨棄。

    這樣的運算有兩個好處：

    1）使符號位能與有效值部分一起參加運算，從而簡化運算規則。從而可以簡化運算器的結構，提高運算速度；（減法運算可以用加法運算表示出來。）

    2）加法運算比減法運算更易於實現。使減法運算轉換為加法運算，進一步簡化計算機中運算器的線路設計。

    下面深入分析上面所陳述的採用補碼的原因（目的）。

    用帶符號位的原碼進行乘除運算時結果正確,而在加減運算的時候就出現了問題，如下：假設字長為8bits

    ( 1 ) 10- ( 1 )10 = ( 1 )10 + ( -1 )10 = ( 0 )10

    (00000001)原 + (10000001)原 = (10000010)原 = ( -2 ) 顯然不正確.。

    因為在兩個整數的加法運算中是沒有問題的，於是就發現問題出現在帶符號位的負數身上，對除符號位外的其餘各位逐位取反就產生了反碼。反碼的取值空間和原碼相同且一一對應。下面是反碼的減法運算：

     ( 1 )10 - ( 1 ) 10= ( 1 ) 10+ ( -1 ) 10= ( 0 )10

     (00000001) 反+ (11111110)反 = (11111111)反 = ( -0 ) 有問題。

    ( 1 )10 - ( 2)10 = ( 1 )10 + ( -2 )10 = ( -1 )10

     (00000001) 反+ (11111101)反 = (11111110)反 = ( -1 ) 正確

    問題出現在(+0)和(-0)上，在人們的計算概念中零是沒有正負之分的。

於是就引入了補碼概念。負數的補碼就是對反碼加一，而正數不變，正數的原碼反碼補碼是一樣的。在補碼中用(-128)代替了(-0)，所以補碼的表示範圍為：

(-128~0~127)共256個。

    注意:(-128)沒有相對應的原碼和反碼， (-128) = (10000000) 補碼的加減運算如下：

    ( 1 ) 10- ( 1 ) 10= ( 1 )10 + ( -1 )10 = ( 0 )10

    (00000001)補 + (11111111)補 = (00000000)補 = ( 0 ) 正確

     ( 1 ) 10- ( 2) 10= ( 1 )10 + ( -2 )10 = ( -1 )10

    (00000001) 補+ (11111110) 補= (11111111)補 = ( -1 ) 正確

    採用補碼錶示還有另外一個原因，那就是為了防止0的機器數有兩個編碼。原碼和反碼錶示的0有兩種形式+0和-0，而我們知道，+0和-0是相同的。這 樣，8位的原碼和反碼錶示的整數的範圍就是-127~+127（11111111~01111111），而採用補碼錶示的時候，00000000是+0， 即0；10000000不再是-0，而是-128，這樣，補碼錶示的數的範圍就是-128~+127了，不但增加了一個數得表示範圍，而且還保證了0編碼 的唯一性。

    整數和0的原碼、反碼和補碼都相同，下面介紹手工快速求負數補碼的方法。這個方法在教材的第8頁已經提到了，這裡再寫出來以便能引起大家的注意。其方法如下：

    先寫出該負數的相反數（正數），再將該正數的二進位制形式寫出來，然後對這個二進位制位串按位取反，即若是1則改為0，若是0則改為1，最後在末位加1。

接下來的問題是，如何能將減法運算轉換成加法運算呢？

    我們已經知道，原碼錶示簡單直觀，與真值轉換容易。但如果用原碼錶示，其符號位不能參加運算。在計算機中用原碼實現算術運算時，要取絕對值參加運算，符號 位單獨處理，這對乘除運算是很容易實現的，但對加減運算是非常不方便的，如兩個異號數相加，實際是要做減法，而兩個異號數相減，實際是要做加法。在做減法 時，還要判斷運算元絕對值的大小，這些都會使運算器的設計變得很複雜。而補碼這種編碼方式實際上正是針對上述問題的。通過用補碼進行表示，就可以把減法運 算化為加法運算。

    在日常生活中，有許多化減為加的例子。例如，時鐘是逢12進位，12點也可看作0點。當將時針從10點調整到5點時有以下兩種方法：

    一種方法是時針逆時針方向撥5格，相當於做減法：

        10－5＝5

    另一種方法是時針順時針方向撥7格，相當於做加法：

      10＋7＝12＋5＝5    (MOD 12)

    這是由於時鐘以12 為模，在這個前提下，當和超過12時，可將12捨去。於是，減5相當於加7。同理，減4可表示成加8，減3可表示成加9，…。

    在數學中，用“同餘”概念描述上述關係，即兩整數A、B用同一個正整數M (M稱為模)去除而餘數相等，則稱A、B對M同餘，記作：

       A＝B     (MOD M)

    具有同餘關係的兩個數為互補關係，其中一個稱為另一個的補碼。當M＝12時，－5和＋7，－4和＋8，－3和＋9就是同餘的，它們互為補碼。

    從同餘的概念和上述時鐘的例子，不難得出結論：對於某一確定的模，用某數減去小於模的另一個數，總可以用加上“模減去該數絕對值的差”來代替。因此，在有模運算中，減法就可以化作加法來做。

    可以看出，補碼的加法運算所依據的基本關係為：

[x]補+ [y]補= [x+y]補

    補碼減法所依據的基本關係式：

[x-y]補 =[x+(-y)]補= [x]補+ [-y]補

    至於加法運算為什麼比減法運算易於實現以及CPU如何實現各種算術運算等問題，則需要通過對數位電路的學習來理解CPU的運算器的硬體實現問題的相關內容了。