“高階”資料結構——樹狀陣列！

※本文一切程式碼未經編譯，不保證正確性，如發現問題，歡迎指正！

1. 單點修改 + 區間查詢

最簡單的樹狀陣列就是這樣的：

void add(int p, int x){ //給位置p增加x
    while(p <= n) sum[p] += x, p += p & -p;
}
int ask(int p){ //求位置p的字首和
    int res = 0;
    while(p) res += sum[p], p -= p & -p;
    return res;
}
int range_ask(int l, int r){ //區間求和
    return
 
 ask(r) - ask(l - 1);
}

2. 區間修改 + 單點查詢

通過“差分”（就是記錄陣列中每個元素與前一個元素的差），可以把這個問題轉化為問題1。

查詢

設原陣列為a[i]

的字首和查詢。

修改

當給區間[l,r]

即可。

void add(int p, int x){ //這個函式用來在樹狀陣列中直接修改
    while
 
(p <= n) sum[p] += x, p += p & -p;
}
void range_add(int l, int r, int x){ //給區間[l, r]加上x
    add(l, x), add(r + 1, -x);
}
int ask(int p){ //單點查詢
    int res = 0;
    while(p) res += sum[p], p -= p & -p;
    return res;
}

3. 區間修改 + 區間查詢

這是最常用的部分，也是用線段樹寫著最麻煩的部分——但是現在我們有了樹狀陣列！

怎麼求呢？我們基於問題2的“差分”思路，考慮一下如何在問題2構建的樹狀陣列中求字首和：

位置p的字首和 =

在等式最右側的式子∑pi=1∑ij=1d[j]

次……那麼我們可以寫出：

位置p的字首和 =

那麼我們可以維護兩個陣列的字首和：
一個數組是 sum1[i]=d[i]

。

查詢

位置p的字首和即： (p + 1) * sum1陣列中p的字首和 - sum2陣列中p的字首和。

區間[l, r]的和即：位置r的字首和 - 位置l的字首和。

修改

對於sum1陣列的修改同問題2中對d陣列的修改。

對於sum2陣列的修改也類似，我們給 sum2[l] 加上 l * x，給 sum2[r + 1] 減去 (r + 1) * x。

void add(ll p, ll x){
    for(int i = p; i <= n; i += i & -i)
        sum1[i] += x, sum2[i] += x * p;
}
void range_add(ll l, ll r, ll x){
    add(l, x), add(r + 1, -x);
}
ll ask(ll p){
    ll res = 0;
    for(int i = p; i; i -= i & -i)
        res += (p + 1) * sum1[i] - sum2[i];
    return res;
}
ll range_ask(ll l, ll r){
    return ask(r) - ask(l - 1);
}

用這個做區間修改區間求和的題，無論是時間上還是空間上都比帶lazy標記的線段樹要優。

4. 二維樹狀陣列

我們已經學會了對於序列的常用操作，那麼我們不由得想到（誰會想到啊喂）……能不能把類似的操作應用到矩陣上呢？這時候我們就要寫二維樹狀陣列了！

在一維樹狀陣列中，tree[x]（樹狀陣列中的那個“陣列”）記錄的是右端點為x、長度為lowbit(x)的區間的區間和。
那麼在二維樹狀陣列中，可以類似地定義tree[x][y]記錄的是右下角為(x, y)，高為lowbit(x), 寬為 lowbit(y)的區間的區間和。

單點修改 + 區間查詢

void add(int x, int y, int z){ //將點(x, y)加上z
    int memo_y = y;
    while(x <= n){
        y = memo_y;
        while(y <= n)
            tree[x][y] += z, y += y & -y;
        x += x & -x;
    }
}
void ask(int x, int y){//求左上角為(1,1)右下角為(x,y) 的矩陣和
    int res = 0, memo_y = y;
    while(x){
        y = memo_y;
        while(y)
            res += tree[x][y], y -= y & -y;
        x -= x & -x;
    }
}

區間修改 + 單點查詢

我們對於一維陣列進行差分，是為了使差分陣列字首和等於原陣列對應位置的元素。

那麼如何對二維陣列進行差分呢？可以針對二維字首和的求法來設計方案。

二維字首和：

那麼我們可以令差分陣列d[i][j]

的差。

例如下面這個矩陣

 1  4  8
 6  7  2
 3  9  5

對應的差分陣列就是

 1  3  4
 5 -2 -9
-3  5  1

當我們想要將一個矩陣加上x時，怎麼做呢？
下面是給最中間的3*3矩陣加上x時，差分陣列的變化：

0  0  0  0  0
0 +x  0  0 -x
0  0  0  0  0
0  0  0  0  0
0 -x  0  0 +x

這樣給修改差分，造成的效果就是：

0  0  0  0  0
0  x  x  x  0
0  x  x  x  0
0  x  x  x  0
0  0  0  0  0

那麼我們開始寫程式碼吧！

void add(int x, int y, int z){ 
    int memo_y = y;
    while(x <= n){
        y = memo_y;
        while(y <= n)
            tree[x][y] += z, y += y & -y;
        x += x & -x;
    }
}
void range_add(int xa, int ya, int xb, int yb, int z){
    add(xa, ya, z);
    add(xa, yb + 1, -z);
    add(xb + 1, ya, -z);
    add(xb + 1, yb + 1, z);
}
void ask(int x, int y){
    int res = 0, memo_y = y;
    while(x){
        y = memo_y;
        while(y)
            res += tree[x][y], y -= y & -y;
        x -= x & -x;
    }
}

區間修改 + 區間查詢

類比之前一維陣列的區間修改區間查詢，下面這個式子表示的是點(x, y)的二維字首和：

(d[h][k]為點(h, k)對應的“二維差分”(同上題))

這個式子炒雞複雜( O(n4)

！

首先，類比一維陣列，統計一下每個d[h][k]

次。

那麼這個式子就可以寫成：