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今天我們來講講奇異值分解和它的一些有意思的應用。奇異值分解是一個非常，非常，非常大的話題，它的英文是 Singular Value Decomposition，一般簡稱為 SVD。下面先給出它大概的意思：

對於任意一個 m×nm×n 的矩陣 MM，不妨假設 m>nm>n，它可以被分解為

M=UDVTM=UDVT

其中

• UU 是一個 m×nm×n 的矩陣，滿足 UTU=InUTU=In，InIn 是 n×nn×n 的單位陣
• VV 是一個 n×nn×n 的矩陣，滿足 V
  TV=InVTV=In
• DD 是一個 n×nn×n 的對角矩陣，所有的元素都非負

先別急，我看到這個定義的時候和你一樣暈，感覺資訊量有點大。事實上，上面這短短的三條可以引發出 SVD 許多重要的性質，而我們今天要介紹的也只是其中的一部分而已。

前面的表示式 M=UDVTM=UDVT 可以用一種更容易理解的方式表達出來。如果我們把矩陣 UU 用它的列向量表示出來，可以寫成

U=(u1,u2,…,un)U=(u1,u2,…,un)

其中每一個 uiui 被稱為 MM 的左奇異向量。類似地，對於 VV，有

V=(v1,v2,…,vn)V=(v1,v2,…,vn)

它們被稱為右奇異向量。再然後，假設矩陣 D

D 的對角線元素為 didi （它們被稱為 MM的奇異值）並按降序排列，那麼 MM 就可以表達為

M=d1u1vT1+d2u2vT2+⋯+dnun

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