一：為什麽要計算時間復雜度？

　　- 一說起時間復雜度，就和算法扯上了關系，那麽就有了一個問題，在我們寫好了一個算法之後，如何測試這個算法的好或者不好呢？

　　　　- 事後統計法，指的是在算法完成之後，通過實際的運行來檢驗算法的好壞。但是，這樣也有兩個致命的缺點

　　　　　　- 如果算法不行，那麽我們實際運行圖了個什麽？

　　　　　　- 機器性能一會好一會不行怎麽破？

　　　　- 因為 事後統計法 的不靠譜，所以我們采用了 事前分析 的方法，也就是我們說的 時間復雜度。

　　　　　　- 不過因為是事前統計，其算法本身也並沒有通過實際環境的檢驗。

　　　　　　- 所以，時間復雜度，其實只是一個度量

　　　　　　- 也就是說只是給了你一個尺子去量一下這個算法的耗時，不是這個算法實現以後真的會耗時多少，也不是兩個不同的算法的耗時比例真的可以這麽比。

二：時間復雜度的定義？

　　- 語句執行次數 T(n) 是問題規模 n 的函數

　　- 繼而分析 T(n) 隨著 n 的變化並確定 T(n) 的量級

　　- 記做 T(n) = O(f(n)), 表示隨著 n 的增大，時間的增長率 和 fn 增長率相同

　　- 一般用 O() 表示，也稱 大 (O) 記法

　　- 簡單來說，記住這個公式 f(n) = n

三：如何計算算法的時間復雜度？

　　- 推導大 O() 計數法

　　　　- 用常數 1 來代替 運行時間的加法常數

　　　　- 在修改後的運行次函數中，只保留最高階

　　　　- 如果最高階存在且不是1，則去除這個項相乘的常數

　　- 下面來嘗試如何計算時間復雜度

四：常數階O (1)

• <?php
      $sum = 0;                    // 執行一次
      $n = 100;                    // 執行一次
      $sum = (1 + n) * n/2;        // 執行一次
      print_r($sum);               // 執行一次

　　- 按照定義，這個算法的運行次數是 f(n) = 4,

　　- 在保留最高階時，發現這個算法也沒有最高階，所以這個算法的時間復雜度為 O(1)

• <?php
      // 如果執行10次呢
      $sum = 0;                    // 執行一次
      $n = 100;                    // 執行一次
      $sum = (1 + n) * n/2;        // 執行一次
      $sum = (1 + n) * n/2;        // 執行一次
      $sum = (1 + n) * n/2;        // 執行一次
      $sum = (1 + n) * n/2;        // 執行一次
      $sum = (1 + n) * n/2;        // 執行一次
      print_r($sum);               // 執行一次

　　- 事實上無論 n 為多少，都是時間恒定的算法，也是為常數階 O(1)

五：線性階O (n)

• <?php
      $n = n;
      foreach ($n as $v) {
          // 時間復雜度為 O(1) 的序列
      }

　　- 按照定義，這個算法的運行次數是 f(n) = n, 根據我們的 大 O 推導算法，保存最高階的 1，

　　- 也是為線性階 O(n)

六：對數階O (logn)

• <?php
      $count = 1;
      while ($count < n) {
          $count = $count * 2;
          // 時間復雜度為 O(1) 的序列
  　  }

　　- 由於 count 每次 X2 ,有多少個 2 相乘後，便會退出循環。

　　- 由 2x=n 得到 x = log2n

　　- 對數階O (logn)

七：平方階O (n2)

• <?php
      foreach ($n as $v) {
          func($v);
      }
  
      function func () {
          for ($i = 0; $i < n; $i++) {
              // 時間復雜度為 O(1) 的
          }
      }

　　- 外層調用了一個循環，循環 n 次去執行 func 函數

　　- func 函數內部又執行一次循環輸出

　　- 也就是說，這個算法一共執行了 f(n) = n2 次

• // 等價於
  <?php
      foreach ($n as $v) {
          for ($i = 0; $i < n; $i++) {
              // 時間復雜度為 O(1) 的
          }
      }

　　- 也就是 平方階O (n2)

七：時間復雜度耗時大小排列(越小越好)

　　- O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n2) < O(n3) < O(2n) < O(n!) < O(1) < O(nn)

　　- 一般超過 O(n2) 的，時間太長，就不做計算了，也就是說，一個算法，最長耗時不能超過 O(n2)

《時間復雜度的計算》