「Luogu4158」[SCOI2009]粉刷匠

problem

題目描述

\(windy\)有 \(N\) 條木板需要被粉刷。 每條木板被分為 \(M\) 個格子。 每個格子要被刷成紅色或藍色。

\(windy\)每次粉刷，只能選擇一條木板上一段連續的格子，然後塗上一種顏色。 每個格子最多只能被粉刷一次。

如果\(windy\)只能粉刷 \(T\) 次，他最多能正確粉刷多少格子？

一個格子如果未被粉刷或者被粉刷錯顏色，就算錯誤粉刷。

輸入輸出格式

輸入格式：

第一行包含三個整數，\(N\) \(M\) \(T\)。

接下來有\(N\)行，每行一個長度為\(M\)的字符串，‘0‘表示紅色，‘1‘表示藍色。

輸出格式：

包含一個整數，最多能正確粉刷的格子數。

輸入輸出樣例

輸入樣例#1：

3 6 3
111111
000000
001100

輸出樣例#1：

16

說明

\(30\%\)的數據，滿足 \(1 \le N,M \le 10\) ； \(0 \le T \le 100\) 。

\(100\%\)的數據，滿足 \(1 \le N,M <= 50\) ； \(0 \le T \le 2500\) 。

Solution

蒟蒻看到這題想了\(n\)多種完全不正確的處理方法，如果是在考場上估計已經光速涼涼了\(QAQ\)

對於每一行，我們可以把它分成若幹個顏色不同的連續段（對應若幹次顏色不同的粉刷），從左到右考慮

註意到題目：

一個格子如果未被粉刷或者被粉刷錯顏色，就算錯誤粉刷。

意思就是不刷白不刷

如果是顏色不對，多刷這一格不會比不刷差，就不需要考慮不刷的情況

所以我們有：

狀態：設\(dp_{i,j,k,0/1}\)表示當前枚舉到第\(i\)行，第\(j\)個格子，已經塗了\(k\)次（分成了\(k\)段），當前格子塗的顏色是\(0/1\)

方程：
\[dp_{i,j,k,x}=max(dp_{i,j-1,k,x},dp_{i,j-1,k-1,x\space xor\space 1})+[x=color_{i,j}]\]

(方括號是艾弗森括號，當其中的條件為真時值為\(1\)，否則為\(0\))

這個轉移應該很好理解吧

處理完每一行之後，\(max(dp_{i,m,k,0},dp_{i,m,k,1})\)

這樣，每一行作為一組，原問題就轉化為一個分組背包問題，在此不再贅述

Code

代碼中所用的字母與上述轉移方程略有不同，請註意辨別

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#define maxn 55
#define maxm 55
#define maxt 2505
using namespace std;
typedef long long ll;

template <typename T> void read(T &t)
{
    t=0;int f=0;char c=getchar();
    while(!isdigit(c)){f|=c=='-';c=getchar();}
    while(isdigit(c)){t=t*10+c-'0';c=getchar();}
    if(f)t=-t;
}

int n,m,t;
int col[maxn][maxm];
int dp[maxn][maxm][maxm][2],tdp[maxt];

int main()
{
    read(n),read(m),read(t);
    for(register int i=1;i<=n;++i)
    {
        char c[maxm];
        scanf("%s",c+1);
        for(register int j=1;j<=m;++j)
            col[i][j]=c[j]-'0';
    }
    for(register int li=1;li<=n;++li)
        for(register int i=1;i<=m;++i)
            for(register int k=1;k<=min(t,m);++k)
                for(register int x=0;x<=1;++x)
                    dp[li][i][k][x]=max(dp[li][i-1][k][x],dp[li][i-1][k-1][x^1])+(x==col[li][i]);
    for(register int i=1;i<=n;++i)
        for(register int j=t;j>=0;--j)
            for(register int k=1;k<=min(j,m);++k)
                tdp[j]=max(tdp[j],tdp[j-k]+max(dp[i][m][k][0],dp[i][m][k][1]));
    printf("%d",tdp[t]);
    return 0;
}

「Luogu4158」[SCOI2009]粉刷匠