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A - Beautiful numbers

統計區間內的，被數位上各個為零數字整除的數的個數。

下面是暴力的數位dp寫法，絕對會TLE的，因為這個要深入到每個數字的最後才能判斷是否合法。因為記憶化的意義在詢問不多的時候用處不大就去掉了。果然2400分的題不能這麽暴力。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long

int a[20];
int d[10];
ll dfs(int pos,ll sum,bool lead,bool
 
 limit) {
    //遞歸邊界，最低位是0，那麽pos==-1說明這個數枚舉完了
    if(pos==-1) {
        for(int i=1; i<=9; i++) {
            if(d[i]) {
                if(sum%i)
                    return 0;
            }
        }
        return 1;
    }
    int up=limit?a[pos]:9;//根據limit判斷枚舉的上界up
    ll ans=0;
    //開始計數
 

    for(int i=0; i<=up; i++) { //枚舉，然後把不同情況的個數加到ans就可以了
        //合法的狀態向下搜索
        if(i)
            d[i]++;
        ans+=dfs(pos-1,sum*10ll+i,lead && i==0,limit && i==a[pos]);//最後兩個變量傳參都是這樣寫的
        if(i)
            d[i]--;
    }
    return ans;
}

ll solve(ll x) {
    //可能需要特殊處理0或者-1
 

    if(x<=0)
        return 1;

    int pos=0;
    while(x) { //把數位分解
        a[pos++]=x%10;//編號為[0,pos)，註意數位邊界
        x/=10;
    }

    memset(d,0,sizeof(d));
    return dfs(pos-1,0,true,true);//剛開始最高位都是有限制並且有前導零的，顯然比最高位還要高的一位視為0嘛
}

int main() {

    int t;
    scanf("%d",&t);
    ll le,ri;
    while(t--) {
        scanf("%lld%lld",&le,&ri);
        printf("%lld\n",solve(ri)-solve(le-1));
    }
}

沒想出來怎麽解決，去查了題解，題解暗示說，這樣是和最小公倍數有關的。好像的確很有道理，細節只能自己想了。

首先考慮1~9的最小公倍數，也就是 $1*2^3*3^2*5*7=2520$ ，題解提到一個充要條件，就是一個數假如要能被某些數整除，等價於被這些數的最小公倍數整除，這個充要條件的正確性可以由質因數分解得知，就是說這個數的質因數分解必須比他的各個數位的質因數分解“高”，也就比各個數位的質因數分解的“輪廓”也就是最小公倍數“高”。（註： $lcm(a,b)=\frac{a*b}{gcd(a,b)}$ ，且滿足結合律）

然後怎麽計數呢？這裏受到之前做的數位dp的啟發，由下一位的數位dp推出上一位的狀態。設計狀態的時候借鑒別人的思路，dp[i][j][k]表示i位數中最小公倍數為j且模2520的余數為k的數的個數。

那麽dp[i][j][k]+=dp[i-1][j

kuangbin帶你飛 - 專題十五 - 數位dp