[Noip2007]Core樹網的核
阿新 • • 發佈：2019-03-12
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2 3 2
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Description
設T=(V, E, W) 是一個無圈且連通的無向圖（也稱為無根樹），每條邊帶有正整數的權，我們稱T為樹網（treenetwork），其中V, E分別表示結點與邊的集合，W表示各邊長度的集合，並設T有n個結點。 路徑：樹網中任何兩結點a,b都存在唯一的一條簡單路徑，用d(a,b)表示以a,b為端點的路徑的長度，它是該路徑上各邊長度之和。我們稱d(a,b)為a,b兩結點間的距離。 一點v到一條路徑P的距離為該點與P上的最近的結點的距離： d(v，P)=min{d(v，u)，u為路徑P上的結點}。 樹網的直徑：樹網中最長的路徑稱為樹網的直徑。對於給定的樹網T，直徑不一定是唯一的，但可以證明：各直徑的中點（不一定恰好是某個結點，可能在某條邊的內部）是唯一的，我們稱該點為樹網的中心。 偏心距ECC(F)：樹網T中距路徑F最遠的結點到路徑F的距離，即 。 任務：對於給定的樹網T=(V, E,W)和非負整數s，求一個路徑F，它是某直徑上的一段路徑（該路徑兩端均為樹網中的結點），其長度不超過s（可以等於s），使偏心距ECC(F)最小。我們稱這個路徑為樹網T=(V,E,W)的核（Core）。必要時，F可以退化為某個結點。一般來說，在上述定義下，核不一定只有一個，但最小偏心距是唯一的。 下面的圖給出了樹網的一個實例。圖中，A-B與A-C是兩條直徑，長度均為20。點W是樹網的中心，EF邊的長度為5。如果指定s=11，則樹網的核為路徑DEFG（也可以取為路徑DEF），偏心距為8。如果指定s=0（或s=1、s=2），則樹網的核為結點F，偏心距為12。下面的圖給出了樹網的一個實例。圖中，A−B與A−C是兩條直徑，長度均為20。點W是樹網的中心，EF邊的長度為5。如果指定s=11，則樹網的核為路徑DEFG（也可以取為路徑DEF），偏心距為8。如果指定s=0（或s=1、s=2），則樹網的核為結點F，偏心距為12。
Input
包含n行： 第1行，兩個正整數n和s，中間用一個空格隔開。其中n為樹網結點的個數，s為樹網的核的長度的上界。設結點編號依次為1, 2, ..., n。 從第2行到第n行，每行給出3個用空格隔開的正整數，依次表示每一條邊的兩個端點編號和長度。例如，“2 4 7”表示連接結點2與4的邊的長度為7。 所給的數據都是正確的，不必檢驗。Output
只有一個非負整數，為指定意義下的最小偏心距。Sample Input
5 21 2 5
2 3 2
2 4 4
2 5 3
Sample Output
5HINT
對於70%的數據，n<=200000
對於100%的數據：n<=500000, s<2^31, 所有權值<500
==============================================
似乎SPOJ上加強版的數據...
簡單來說就是在最長直徑上，維護一段小於s的路徑F，使得偏心距最小
首先明確幾個性質：
1、維護路徑F的長度s越長越好
2、最小偏心距的端點，要麽存在於直徑的端點，要麽存在於最大深度的點
性質1顯然成立
現在證明性質2：
以上圖為例，假設樹網的核為結點C，如果最小偏心距為B的話，那麽C-B就會成為直徑，而從圖上看顯然不成立
先寫一遍bfs，莫名WA了，後改成了dfs
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 using namespace std; 5 6 const int MAXN=1000000; 7 const int INF=0x7f7f7f7f; 8 9 struct Edge 10 { 11 int to,w,next; 12 }E[MAXN]; 13 int node,head[MAXN]; 14 int n,s,ans=INF; 15 int f[MAXN],dis[MAXN]; 16 bool mk[MAXN]; 17 18 void insert(int u,int v,int w) 19 { 20 E[++node]=(Edge){v,w,head[u]};head[u]=node; 21 E[++node]=(Edge){u,w,head[v]};head[v]=node; 22 } 23 24 void dfs(int u,int fa) 25 { 26 f[u]=fa; 27 for(int i=head[u];i;i=E[i].next) 28 { 29 if(E[i].to==fa||mk[E[i].to]) continue; 30 dis[E[i].to]=dis[u]+E[i].w; 31 dfs(E[i].to,u); 32 } 33 } 34 35 int main() 36 { 37 scanf("%d%d",&n,&s); 38 for(int i=1;i<n;i++) 39 { 40 int u,v,w; 41 scanf("%d%d%d",&u,&v,&w); 42 insert(u,v,w); 43 } 44 int l=1,r=1; 45 dfs(1,0); 46 for(int i=1;i<=n;i++) 47 if(dis[i]>dis[l]) l=i; 48 dis[l]=0; 49 dfs(l,0); 50 for(int i=1;i<=n;i++) 51 if(dis[i]>dis[r]) r=i; 52 for(int i=r,j=r;i;i=f[i]) 53 { 54 while(f[j]&&dis[i]-dis[f[j]]<=s) j=f[j]; 55 ans=min(ans,max(dis[j],dis[r]-dis[i])); 56 } 57 for(int i=r;i;i=f[i]) mk[i]=1; 58 for(int i=r;i;i=f[i]) 59 { 60 dis[i]=0; 61 dfs(i,f[i]); 62 } 63 for(int i=1;i<=n;i++) 64 ans=max(ans,dis[i]); 65 printf("%d",ans); 66 return 0; 67 }
[Noip2007]Core樹網的核