由於我太懶了，所以就不每題開一篇寫了。題目大意也懶得寫了。

DAY1

1A

　　顯然最優策略是瞎走，在知道那條邊斷掉了之後才走最短路徑。

　　先把以 \(T\) 為根的最短路樹求出來，然後可以用堆求出斷掉每條邊後端點到 \(T\) 的最短路徑。

　　最後像 dijk 那樣 DP 一下就好了。

1B

　　直接線段樹 + 凸包優化 DP 可以輕松做到 \(O(n\log n)\)

　　用 這個方法 可以優化到 \(O(n)\)

1C

　　不同的環長只有 \(O(\sqrt n)\) 種。

　　對每種環長算一下答案即可。

DAY2

2A

　　直接縮個點然後每個出度為 \(0\) 的連通塊扔掉最小值即可。

2B

　　用 這個東西，用平衡樹維護序列即可。

DAY3

3A

　　如果可以修改一個 \(a_i\) 滿足 \(\forall i,a_{i+1}<a_i+b_i or a_{i+1}>a_i+c_i\)，那麽那一個人第一天就會發現。

　　如果可以修改兩個，那麽那兩個人第二天都會發現。

　　現在就是要修改最少的 \(a_i\) 滿足上面那個東西。

　　可以 DP。枚舉上一個沒有修改的 \(j\)，那麽要求 \([a_i-B_{i-1},a_i-C_{i-1}]\subseteq[a_j-B_{j-1},a_j-C_{j-1}]\)。其中 \(B,C\) 分別是 \(b,c\) 的前綴和。

　　可以發現區間長度是單調的。

　　然後按 \(a_i-B_{i-1}\) 排序求個 LIS 即可。

3B

　　直接重鏈剖分然後在重鏈上二分是 \(O(n\log^2n)\) 的。

　　在重鏈上從下往上的求輕子樹的答案。

　　當遇到一個輕子樹答案為 \(0\) 時，這條鏈上面的答案就都是 \(0\) 了。

　　這樣就只用二分下面那部分了。

　　復雜度應該是 \(O(n\log n)\) 的。

3C

　　先二分答案 \(s\)。

　　弄一個網格，把 \(a_i+b_j\leq s\) 的部分染白，剩下的部分染黑。

　　那麽就是你一開始在 \((1,1)\)，每次找一個同行或同列的異色的點走過去。

　　如果 \((1,1)\)

　　然後把最大匹配換成最大獨立集。

　　把 \(a_i,b_j\) 排序後，選的一定是 \(i\leq R,j\leq C\)的白色部分和 \(i>R,j>C\) 的黑色部分。

　　可以發現，當 \(R\) 變大的時候，\(C\) 變大的收益是單調的，\(C\) 也是單調的。

　　直接掃一遍就好了。

DAY4

4A

　　先讓每個點能匹配 \(k\) 條邊跑一邊網絡流。

　　然後每次把度數 \(=\) 度數最大值得點找出來，找一個覆蓋這些點的匹配。

　　重復 \(k\) 次即可。

4B

　　記 \(f_{i,j}\) 為長度為 \(i\)，zjt 在 \(j\) 處的期望答案。

　　顯然 \(f_{i,1}=f_{i,i}=i\)

　　設 \(f_{3,2},f_{4,2},\ldots,f_{m,2}\) 這 \(m-2\) 個未知數，每次可以通過 \(f_{i,j}\) 推出 \(f_{i+1,j+1}\) 的式子。

　　最後把 \(f_{m,2},f_{m,3},\ldots,f_{m,m-1}\) 這 \(m-1\) 個式子拿出來消元即可。

4C

　　分塊分類討論或者樹套樹都能過。

DAY5

5B

　　對於每一個 \(i\leq n\)，新建一個點 \(i'\)。

　　連邊 \((i,i')\)

　　對於每一組 \((i,j)\)，連邊 \((i',j)\)

　　答案為最大匹配 \(-n\)。

5C

　　用一棵平衡樹維護當前所有最優解以及最優解的答案

　　每次遇到一個新的 \(a_i\) 時，先把當前所有最優解的答案加上 \(a_i\) 的貢獻。

　　還有一種情況，就是最優解到 \(a_i\) 時值為 \(a_i-1\)。

　　那就拿之前的最優解平移一下即可。

　　這樣就能找到之前所有位置都做了最優操作的解（如果不是最優操作，就不會成為最大值）。

DAY6

6A

　　可以發現，最優解的 \(C\) 一定是 \(P-w_i-1\) 或 \(T\)。

　　把這些值拿出來每個二分答案 DP 一下就是 \(O(n^2(-\log \epsilon))\) 的了。

　　這個做法的瓶頸在於二分答案。

　　但是我們可以把這些 \(C\) 值 shuffle 一下，每次遇到一個 \(C\) 就 \(O(n)\) 判斷答案是否大於上一個，大了再二分，這樣就只用求 \(O(\log n)\) 次答案了。

　　復雜度是 \(O(n^2+n\log n(-\log \epsilon))\)

6B

　　可以發現，\(f(a_1,a_2,\ldots,a_n)=2^{n-1}(a_1 or a_2 or\cdots or a_n)\)

　　然後 \(n>2\) 的答案和 \(n=2\) 的答案是相同的。

　　然後人類智慧手玩一下就好了。

6C

　　按顏色的出現次數分塊分類討論就好了。

4月訓練題解合集