MT【327】兩道不等式題
當$x,y\ge0,x+y=2$時求下面式子的最小值:
1)$x+\sqrt{x^2-2x+y^2+1}$
2)$\dfrac{1}{5}x+\sqrt{x^2-2x+y^2+1}$
解:1)$P(x,y)$為直線$x+y=2$上一點,點$H$為$P$到$y$軸的投影點,
設$A(1,0)$則$A$關於$x+y=2$的對稱點$A‘(2,1)$
故$x+\sqrt{x^2-2x+y^2+1}=|PH|+|PA|= |PH|+|PA‘|\ge|HA‘|=2$
2)$\dfrac{1}{5}x+\sqrt{x^2-2x+y^2+1}$
$=\dfrac{1}{5}x+\sqrt{(x^2-2x+y^2+1)(\cos^2\theta+\sin^2\theta)}$
令$\cos\theta=\dfrac{3}{5},\sin\theta=\dfrac{4}{5}$則最小值為1
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