莫比烏斯函數與狄利克雷卷積
積性函數
- 積性函數（數論函數，即定義域為正整數集或其子集的函數）定義
- 當\(f(n)=f(a)*f(b)\)對 任意\(a*b=n且gcd(a,b)=1\)成立時，我們稱\(f(x)\)為積性函數
- 特別的，當\(f(n)=f(a)*f(b)\)對 任意\(a*b=n且不要求a,b互質\)成立時，我們稱\(f(n)\)為完全積性函數
- 一些常見的積性函數
- 元函數 \(e(x)=[x==1]\)
- 不變函數 \(I(x)=1\)
- 單位函數 \(id(x)=x\)
- 歐拉函數 \(\varphi(x)=[1,x]中與x互質的數的個數\)
- 莫比烏斯函數 \(\mu(x)=\begin{cases}1,x==1\\(-1)^k,x=\prod_{i=1}^kp_i\\0,x=\prod_{i=1}^kp_i^{r_i}且\exist r_i>1\end{cases}\)
- 當我們把 積性函數定義 看\(N\)遍後，我們不難發現 在上述積性函數中
- 是完全積性函數的是：
- 元函數 \(e(x)\)
- 不變函數 \(I(x)\)
- 單位函數 \(id(x)\)
- 是積性函數的是：
- 歐拉函數 \(\varphi(x)\)
- 莫比烏斯函數 \(\mu(x)\)
- 是完全積性函數的是：
- 積性函數（數論函數，即定義域為正整數集或其子集的函數）定義
狄利克雷卷積
狄利克雷卷積定義
- \(f(x),g(x)\)為積性函數，\(\sum_{d|n}f(d)*g(\frac{n}{d})\)表示將\(f(x)\)與\(g(x)\)狄利克雷卷積。
- 狄利克雷卷積還有一種簡化表示方式\(\sum_{i*j=n}f(i)*g(j)\)
狄利克雷卷積性質（為方便表述，以下我將狄利克雷卷積寫成“ * ”
）卷積出來的函數\(h(x)=\sum_{d|n}f(d)*g(\frac{n}{d})\)，也是積性函數
證明：
\[ h(x)=\sum_{d|n}f(d)*g(\frac{n}{d})\設a*b=x且(a,b)=1\即證h(x)=\sum_{d_1|a}(f(d_1)*g(\frac{a}{d_1}))\cdot\sum_{d_2|b}(f(d_2)*g(\frac{b}{d_2}))\\forall d_1,d_2滿足(d_1,d_2)=1\\Rightarrow h(x)=\sum_{d_1|a,d_2|b}f(d_1)*f(d_2)*g(\frac{a}{d_1})*g(\frac{b}{d_2})\\Rightarrow h(x)=\sum_{d_1|a,d_2|b}f(d_1*d_2)*g(\frac{a*b}{d_1*d_2})\記 c=d_1*d_2\\Rightarrow h(x)=\sum_{c|n}f(c)*g(\frac{n}{c}) \]
交換律
- \(f*g=g*f\)
- \(\sum_{d|n}f(d)*g(\frac{n}{d})=\sum_{d|n}g(d)*f(\frac{n}{d})\)
- 證明：
- 如果這樣不夠顯然，我們考慮狄利克雷卷積的另一簡化版本
- \(\sum_{ij=n}f(i)*g(j)=\sum_{ij=n}g(i)*f(j)\)
- 這樣應該足夠顯然了
結合律
\((f*d)*g=f*(d*g)\)
證明：
\[ Lhs=\sum_{i_1j_1=n}(\ \sum_{i_2j_2=i_1}f(i_2)*d(j_1)\ )*g(j_1)\=\sum_{i_1j_1=n}(\ \sum_{i_2j_2=i_1}f(i_2)*d(j_2)*g(j_1)\ )\=\sum_{i_2j_2j_1=n}f(i_2)*d(j_2)*g(j_1)\Rhs=\sum_{i_1j_1=n}(\ \sum_{i_2j_2=i_1}d(i_2)*g(j_2)\ )*f(j_1)\=\sum_{i_1j_1=n}(\ \sum_{i_2j_2=i_1}d(i_2)*g(j_2)*f(j_1)\ )\=\sum_{i_2j_2j_1=n}d(i_2)*g(j_2)*f(j_1)\\]
註意到\((i_2,j_2,j_1)=1\)，因此相當於是將\(n\)分為三部分相乘，這個式子是輪換對稱式，因此\(Lhs=Rhs\)
分配律
\((f+d)*g=f*g+d*g?\)
證明：
\[ \sum_{x|n}(\ (f(x)+d(x))*g(\frac{n}{x})\ )\=\sum_{x|n}(\ f(x)*g(\frac{n}{x})+d(x)*g(\frac{n}{x})\ )\=\sum_{x|n}f(x)*g(\frac{n}{x})+\sum_{x|n}d(x)*g(\frac{n}{x}) \]
狄利克雷卷積 結合 常用積性函數 的幾個常用公式
- \(\sum_{d|n}\varphi(d)=id(n)\)，即\(\varphi*I=id\)
- \(\sum_{d|n}\mu(d)=e(n)\)，即\(\mu*I=e\)
莫比烏斯反演
莫比烏斯函數的一個重要性質已在上文中出現過，即\(\mu*I=e\)。以下的多數說明中都將使用該公式，請各位牢記
莫比烏斯反演\(1\)
當我們有\(f(x),g(x)\)為積性函數時，\(f(n)=\sum_{d|n}g(d)\)
對該式進行 莫比烏斯反演 後，得\(g(n)=\sum_{d|n}\mu(d)*f(\frac{n}{d})\)
證明：
\[ f=g*I\f*\mu=g*I*\mu\f*\mu=g*e\g(n)=f*\mu\即 g(n)=\sum_{d|n}f(d)*\mu(\frac{n}{d})\或 g(n)=\sum_{d|n}\mu(d)*f(\frac{n}{d}) \]
莫比烏斯反演\(2\)
- 當我們有\(f(x),g(x)\)為積性函數時，\(f(n)=\sum_{n|d}g(d)\)
- 對該式進行 莫比烏斯反演 後，得\(g(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})*f(d)\)
- 證明與上面 莫比烏斯反演\(1\) 類同
莫比烏斯反演理解
- 不難發現，當我們能夠較為方便的求解\(f(n)\)的值且我們想要得到\(g(n)\)的值的時候，我們利用 莫比烏斯反演 能夠較為快速的獲得\(g(n)\)
- 其次，其實莫比烏斯函數實質上是容斥系數，而從\(f\)反推\(g\)的過程則可以看成容斥的過程
- 我們將\(f(n)\)看成包含\(n\)所有約數的集合，而\(g(d)\)則是僅包含\(d\)的集合
- 反演後的式子的含義我們可以看成 \(\mu(d)\)為容斥系數
常見積性函數的求法
莫比烏斯函數與狄利克雷卷積