bzoj 4916: 神犇和蒟蒻【歐拉函數+莫比烏斯函數+杜教篩】
阿新 • • 發佈：2018-01-22
pac pan using 函數 莫比烏斯函數 right for body ace
\[ s(n)=g(n)-\sum_{i=2}^{n}i\sum_{d=1}^{i-1}[d|i]\phi(d) \]
\[ =g(n)-\sum_{k=2}^{n}k\sum_{d=1}^{\left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor}d\phi(d) \]
\[ =g(n)-\sum_{k=2}^{n}k*s(\left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor) \]
\[ =\frac{n(n+1){2n+1}}{6}-\sum_{k=2}^{n}k*s(\left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor) \]
這就是標準的杜教篩遞歸形式了，直接求解即可。
居然扒到了學長出的題
和3944差不多（？），雖然一眼看上去很可怕但是仔細觀察發現，對於mu來講，答案永遠是1（對於帶平方的，mu值為0，1除外），然後根據歐拉篩的原理，\( \sum_{i=1}^{n}\phi(i^2)=\sum_{i=1}^{n}\phi(i)*i \)，然後就可以正常推了：
設
\[
g(n)=\sum_{i=1}^{n}i\sum_{d=1}^{i}[d|i]\phi(d)=\sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{n(n+1){2n+1}}{6}
\]
\[
s(n)=\sum_{i=1}^{n}i\phi(i)
\]那麽把g展開：
\[
g(n)=\sum_{i=2}^{n}i\sum_{d=1}^{i-1}[d|i]\phi(d)+s(n)
\]
\[ s(n)=g(n)-\sum_{i=2}^{n}i\sum_{d=1}^{i-1}[d|i]\phi(d) \]
\[ =g(n)-\sum_{k=2}^{n}k\sum_{d=1}^{\left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor}d\phi(d) \]
\[ =g(n)-\sum_{k=2}^{n}k*s(\left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor) \]
\[ =\frac{n(n+1){2n+1}}{6}-\sum_{k=2}^{n}k*s(\left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor) \]
這就是標準的杜教篩遞歸形式了，直接求解即可。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<map>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=1000005,m=1000000,mod=1e9+7;
int phi[N],mi[N],q[N],tot,n,k,s[N],ans[N];
bool v[N];
map<long long,int>mp;
int S(int n,int l)
{
if(l<=1)
return bzoj 4916: 神犇和蒟蒻【歐拉函數+莫比烏斯函數+杜教篩】