快速冪

引例：計算2¹⁹

　　我們的思路是，把19拆開，拆成2的整數次冪之和，即19=16+2+1，則原式2¹⁹ = 2¹⁶⁺²⁺¹ = 2¹⁶ × 2² ×2¹

　　這樣，19個2相乘就轉化為3個數相乘，並且，由於這3個數的計算方法與二進制有著密切聯系。因此我們可以采取二進制來依次獲得這3個數。

快速冪原理：對於a^b，可將b轉換為2進制按權相加式，其中每個有效權位對應一個中間數，通過這些中間數，我們可以大大減少運算量。從而快速進行冪運算。

對於一個十進制數b，如果找到≥b的最小整數c，其中整數c是2的整數次冪，則b可由log₂c位二進制數表示(2ⁿ

令n = log₂c，b = x₀2⁰ + x₁2¹ + x₂2² + … + x_n-12^n-1。

再由a^b = a^b = a^(x₀2⁰ + x₁2¹ + x₂2² + … + x_n-12^n-1)，可以減少乘法操作的次數，先是基數2¹~2ⁿ，先進行了n次乘法，再由有效位(b的二進制形式中，數碼為1的位)的位數m，額外進行m-1次的計算，則總共計算了n+m-1次，即得到計算次數不超過log₂c + m – 1次。從原來的乘n次變為現在的最多乘2log₂n次，因此，時間復雜度由原來的O（b）減小為現在的O（log₂b）。

例如，計算2⁶。

對於傳統計算方法，需要將6個底數2相乘即:

2⁶ = 2×2×2×2×2×2 = 64，總共乘6次

而使用快速冪，則只需要分兩步進行:

① 把6轉換為2進制按權相加式:

6_D = (0 × 2⁰ + 1 × 2¹ + 1 × 2²)_D = 110_B這裏基數2¹變為2²（6<2³=8，n=3，n-1=2，指數依次為0，1，2），總共乘了2次。

② 計算2⁶ = 2^6 =2^(0 × 2⁰ + 1 × 2¹ + 1 × 2²

把這個式子展開，則得到2^{2 +4} = 2² × 2⁴

由有效位(6的二進制形式中，數碼為1的位)的位數為2，則額外的乘法次數為2-1=1

快速冪，一共進行了3次乘法

又如計算2¹⁰²⁵

傳統方法要乘1025次

對於快速冪，由2¹~2¹⁰共10次，再由有效位(1025的二進制形式中，數碼為1的位)的位數為2，則額外的乘法次數為2-1=1，所以共進行了11次乘法

代碼如下：

 1 long long qpow(long long base, long long pow)
 2 {
 3     long long res = 1;
 4     while(pow)
 5     {
 6         if(pow&1)
 7             res *= base;
 8         base *= base ;
 9         pow>>=1;
10         cnt += 3;
11     }
12     return res;
13 }

通常，由於int類型以及long long類型的數值範圍限制，通常遇到的OJ題目（例如：UPC-7778快速冪求模）需要對運算結果取模：

long long qpow(long long base, long long pow, long long mod)
{
    long long res = 1 % mod;
    base %= mod;
    while(pow)
    {
        if(pow&1)
            res = (res * base) % mod;
        base = (base * base) % mod;
        pow>>=1;
        cnt += 3;
    }
    return res;
}

對比枚舉冪運算的次數，快速冪的確可以減少運算次數

例如求8⁶⁶⁶⁶ % 999，樣例結果如下：

Enter a, b, p:
8 6666 999
Count of calculation: 44
a^b %p = 406

快速冪的原理及時間復雜度