排序是一個經典的問題，它以一定的順序對一個數組或列表中的元素進行重新排序。而排序演算法也是各有千秋，每個都有自身的優點和侷限性。雖然這些演算法平常根本就不用自己去編寫，但作為一個有追求的程式設計師，還是要了解它們從不同角度解決排序問題的思想。

學習演算法是枯燥的，那怎麼高效的理解它的原理呢？顯然，如果以動圖的方式，生動形象的把演算法排序的過程展示出來，非常有助於學習。visualgo.net 就是一個視覺化演算法的網站，第一次訪問的時候，真的是眼前一亮。本文就對常用的排序進行下總結。

1. 氣泡排序

氣泡排序的基本思想就是：把小的元素往前調或者把大的元素往後調。假設陣列有 N 個元素，氣泡排序過程如下：

1. 從當前元素起，向後依次比較每一對相鄰元素(a,b)
2. 如果 a>b 則交換這兩個數
3. 重複步驟1和2，直到比較最後一對元素（第 N-2 和 N-1 元素）
4. 此時最大的元素已位於陣列最後的位置，然後將 N 減 1，並重復步驟1，直到 N=1

氣泡排序的核心程式碼：

public static void bubbleSort(int[] a, int n) {
  // 排序趟數，最後一個元素不用比較所以是 (n-1) 趟
  for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
    // 每趟比較的次數，第 i 趟比較 (n-1-i) 次
    for (int j = 0; j < n - 1 - i; j++) {
      // 比較相鄰元素，若逆序則交換
      if (a[j] > a[j+1]) {
        int tmp = a[j];
        a[j] = a[j+1];
        a[j+1] = tmp;
      }
    }
  }
}
 

難點在於邊界的確定，演算法分析：

• 平均時間複雜度是 O(n^2)，最佳情況是 O(n)，最差情況是 O(n^2)
• 空間複雜度 O(1)
• 穩定的排序演算法（相等元素的前後順序排序後不變）

2. 選擇排序

選擇排序的基本思想就是：每次從未排序的列表中找到最小(大)的元素，放到已排序序列的末尾，直到所有元素排序完畢。假設陣列有 N 個元素且 L=0，選擇排序過程如下：

1. 從 [L...N-1] 範圍中找到最小元素的下標 X
2. 交換第 X 與第 L 位置的元素值
3. L 加 1，重複以上步驟，直到 L=N-2

選擇排序的核心程式碼：

public static void selectionSort(int[] a, int n) {
  // 排序趟數，最後一個元素是最大的不用比較所以是 (n-1) 趟
  for (int i = 0; i < n-1; i++) {
    int minIndex = i; // 無序列表中最小元素的下標
    for (int j = i+1; j < n; j++) {
      // 在無序列表中查詢最小元素的小標並記錄
      if (a[j] < a[minIndex]) {
        minIndex = j;
      }
    }// 將最小元素交換到本次迴圈的前端
    int tmp = a[minIndex];
    a[minIndex] = a[i];
    a[i] = tmp;
  }
}
 

演算法分析：

• 平均時間複雜度是 O(n^2)，最佳和最差情況也是一樣
• 空間複雜度 O(1)
• 不穩定的排序演算法（相等元素的前後順序排序後可能改變）

3. 插入排序

插入排序的基本思想是：每次將待插入的元素，按照大小插入到前面已排序序列的適當位置上。插入排序過程如下：

1. 從第一個元素開始，該元素可認為已排序
2. 取出下一個元素，在已排序的元素序列中從後向前掃描
3. 如果該元素（已排序）大於待插入元素 ，把它移到下一個位置
4. 重複步驟 3，直到找到一個小於或等於待插入元素的位置，將待插入元素插入到下一個位置
5. 重複步驟 2~5，直到取完陣列元素

插入排序的核心程式碼：

public static void insertionSort(int[] a, int n) {
  // a[0] 看做已排序
  for (int i = 1; i < n; i++) {
    int x = a[i]; // 待插入元素
    int j=i-1; // 插入的位置
    while (j >= 0 && a[j] > x) {
      a[j+1] = a[j]; // 為待插入元素騰地
      j--;
    }
    a[j+1] = x; // 插入到下一個位置 j+1
  }
}

演算法分析：

• 平均時間複雜度是 O(n^2)，最佳情況是 O(n)，最差情況是 O(n^2)
• 空間複雜度 O(1)
• 穩定的排序演算法

4. 希爾排序

希爾排序也稱為增量遞減排序，是對直接插入演算法的改進，基於以下兩點性質：

• 插入排序在對幾乎已排好序的資料操作時，效率高，可以達到線性排序的效率
• 但插入排序一般來說是低效的，因為插入排序每次只能移動一位資料

希爾排序的改進是，使用一個增量將陣列切分不同的分組，然後在組內進行插入排序，遞減增量，直到增量為 1，好處就是資料能跨多個元素移動，一次比較就可能消除多個元素的交換。基本過程如下：

1. 選取一個遞增序列，一般使用x/2或者x/3+1
2. 使用序列中最大的增量，對陣列分組，在組內插入排序，遞減增量，直到為 1

核心程式碼：

public static void shellSort(int[] a, int n) {
  // 計算遞增序列，3x+1 :  1, 4, 13, 40, 121, 364, 1093, ... 
  int h = 1;
  while (h < n/3) h = 3*h + 1; 
  while (h >= 1) {// 直到間隔為 1
    // 按間隔 h 切分陣列
    for (int i = h; i < n; i++) {
      // 對 a[i], a[i-h], a[i-2*h], a[i-3*h]...使用插入排序
      int x = a[i]; // 待插入元素
      int j=i;
      while (j >=h && x < a[j-h]) {
        a[j] = a[j-h];// 為待插入元素騰地
        j -= h;
      }
      a[j] = x; // 插入 x
    }
    // 遞減增量
    h /= 3;
  }
}

希爾排序陣列拆分插入圖解，上面的動圖可以輔助理解，與下圖資料不一致：

演算法分析：

• 時間複雜度與選擇的增量序列有關，可能的值時 O(n^2) > O(n^1.5) > O(nlg₂n)
• 空間複雜度 O(1)
• 不穩定的排序演算法

5. 歸併排序（遞迴&非遞迴）

歸併排序是分而治之的排序演算法，基本思想是：將待排序序列拆分多個子序列，先使每個子序列有序，再使子序列間有序，最終得到完整的有序序列。歸併排序本質就是不斷合併兩個有序陣列的過程，實現時主要分為兩個過程：

1. 拆分 - 遞迴的將當前陣列二分（如果N是偶數，兩邊個數平等，如果是奇數，則一邊多一個元素），直到只剩 0 或 1 個元素
2. 歸併 - 分別將左右半邊陣列排序，然後歸併在一起形成一個大的有序陣列

二路歸併遞迴實現，核心程式碼：

public static void mergeSort(int[] a, int low, int high) {
  // 要排序的陣列 a[low..high]
  if (low < high) {// 是否還能再二分 low >= high (0 或 1 個元素)
    int mid = low + (high - low) / 2; // 取中間值，避免 int 溢位
    mergeSort(a, low, mid); // 將左半邊排序
    mergeSort(a, mid + 1, high); // 將右半邊排序
    merge(a, low, mid, high); // 歸併左右兩邊
  }
}
public static void merge(int[] a, int low, int mid, int high) {
  int n = high - low + 1; // 合併後元素總數
  int[] b = new int[n]; // 臨時合併陣列
  int left = low, // 左邊有序序列起始下標
    right = mid + 1, // 右邊有序序列起始下標
    bIdx = 0;
  // 按升序歸併到新陣列  b 中
  while (left <= mid && right <= high) {
    b[bIdx++] = (a[left] <= a[right]) ? a[left++] : a[right++];
  }
  // 右邊序列已拷貝完畢，左邊還有剩餘，將其依次拷貝到合併陣列中
  while (left <= mid) {
    b[bIdx++] = a[left++];
  }
  // 左邊序列已拷貝完畢，右邊還有剩餘，將其依次拷貝到合併陣列中
  while (right <= high) {
    b[bIdx++] = a[right++];
  }
  // 將歸併後的陣列元素拷貝到原陣列適當位置
  for (int k = 0; k < n; k++) {
    a[low + k] = b[k];
  }
}

陣列拆分和方法呼叫的動態情況如下圖(右鍵檢視大圖)：

遞迴的本質就是壓棧，對於 Java 來說，呼叫層次太深有可能造成棧溢位。一般的，遞迴都能轉為迭代實現，有時迭代也是對演算法的優化。

歸併排序中的遞迴主要是拆分陣列，所以，非遞迴的重點就是把這部分改成迭代，它們的終止條件不同：

• 遞迴是在遇到基本情況時終止，比如遇到了兩個各包含1個元素的陣列，從大陣列到小陣列，自頂向下
• 迭代則相反，自底向上，它首先按 1 切分保證陣列中的每2個元素有序，然後按 2 切分，保證陣列中的每4個元素有序，以此類推，直到整個陣列有序

核心程式碼：

public static void unRecursiveMergeSort(int[] a, int n) {
  int low = 0, high = 0, mid = 0;
  // 待歸併陣列長度，1 2 4 8 ...
  int len = 1; // 從最小分割單位 1 開始 
  while(len <= n) {
    // 按分割單位遍歷陣列併合並
    for (int i = 0; i + len <= n; i += len * 2) {
      low = i;
      // mid 變數主要是在合併時找到右半邊陣列的起始下標
      mid = i + len - 1;
      high = i + 2 * len - 1;
      // 防止超過陣列長度
      if (high > n - 1) {
        high = n - 1;
      }
      // 歸併兩個有序的子陣列
      merge(a, low, mid, high);
    }
    len *= 2; // 增加切分單位
  }
}

演算法分析：

• 平均時間複雜度，最佳和最差情況都是 O(nlgn)
• 空間複雜度 O(n)，需要一個大小為 n 的臨時陣列
• 歸併排序也是一個穩定的排序演算法

6. 快速排序

快排可以說是應用最廣泛的演算法了，它的特點是使用很小的輔助棧原地排序。它也是一個分而治之的排序演算法，基本思想是：選取一個關鍵值，將陣列分成兩部分，一部分小於關鍵值，一部分大於關鍵值，然後遞迴的對左右兩部分排序。過程如下：

1. 選取 a[low] 作為關鍵值-切分元素 p
2. 使用兩個指標遍歷陣列（既可一前一後，也可同方向移動），將比 p 小的元素前移，最後交換切分元素
3. 遞迴的對左右部分進行排序

遞迴實現快排核心程式碼：

public static void quickSort(int[] a, int low, int high) {
  if (low < high) {
    int m = partition(a, low, high); // 切分
    quickSort(a, low, m-1);  // 將左半部分排序 
    quickSort(a, m+1, high); // 將右半部分排序 
  }
}
public static int partition(int[] a, int low, int high) {
  // 將陣列切分為 a[low..i-1], a[i], a[i+1..high]
  int p = a[low]; // 切分元素
  int i = low; // 下一個小於切分元素可插入的位置
  // 從切分元素下一個位置開始，遍歷整個陣列，進行分割槽
  for (int j = low + 1; j <= high; j++) {
    // 往前移動比切分元素小的元素
    if (a[j] < p && (i++ != j)) {
      int tmp = a[j];
      a[j] = a[i];
      a[i] = tmp;
    }
  }
  // 交換中樞(切分)元素
  int tmp = a[low];
  a[low] = a[i];
  a[i] = tmp;
  return i;
}

演算法分析：

• 平均時間複雜度 O(nlgn)，最佳情況 O(nlgn)，最差情況是 O(n^2)
• 空間複雜度 O(lgn)，因為遞迴，佔用呼叫棧空間
• 快排是一個不穩定的排序演算法

7. 堆排序

堆排序是利用堆這種資料結構設計的演算法。堆可看作一個完全二叉樹，它按層級在陣列中儲存，陣列下標為 k 的節點的父子節點位置分別如下：

• k 位置的父節點位置在 (k-1)/2 向下取整
• k 位置的左子節點位置在 2k+1
• k 位置的右子節點位置在 2k+2

堆的表示如下：

堆有序的定義是每個節點都大於等於它的兩個子節點，所以根節點是有序二叉堆中值最大的節點。堆排序就是一個不斷移除根節點，使用陣列剩餘元素重新構建堆的過程，和選擇排序有點類似（只不過按降序取元素），構建堆有序陣列基本步驟如下：

1. 首先使用 (N-1)/2 之前的元素構建堆，完成後，整個堆最大元素位於陣列的 0 下標位置
2. 把陣列首尾資料交換，此時陣列最大值以找到
3. 把堆的尺寸縮小 1，重複步驟 1 和 2，直到堆的尺寸為 1

核心程式碼：

public static void heapSort(int[] a) {
  int n = a.length - 1;
  // 構建堆，一開始可將陣列看作無序的堆
  // 將從下標為 n/2 開始到 0 的元素下沉到合適的位置
  // 因為 n/2 後面的元素都是葉子結點，無需下沉
  for (int k = n/2; k >= 0; k--)
    sink(a, k, n);
  
  // 下沉排序
  // 堆的根結點永遠是最大值，所以只需將最大值和最後一位的元素交換即可
  // 然後再維護一個除原最大結點以外的 n-1 的堆，再將新堆的根節點放在倒數第二的位置，如此反覆
  while (n > 0) {
    // 將 a[1] 與最大的元素 a[n] 交換，並修復堆
    int tmp = a[0];
    a[0] = a[n];
    a[n] = tmp;
    // 堆大小減1
    n--;
    // 下沉排序，重新構建
    sink(a, 0, n);
  }
}
/** 遞迴的構造大根堆 */
private static void sink(int[] a, int k, int n) {
  // 是否存在左孩子節點
  while ((2*k+1) <= n) {
    // 左孩子下標
    int left = 2*k+1;
    
    // left < n 說明存在右孩子，判斷將根節點下沉到左還是右
    // 如果左孩子小於右孩子，那麼下沉為右子樹的根，並且下次從右子樹開始判斷是否還要下沉
    if (left < n && a[left] < a[left + 1])
      left = left + 1;
    
    // 如果根節點不小於它的子節點，表示這個子樹根節點最大
    if (a[k] >= a[left])
      break; // 不用下沉，跳出
    
    // 否則將根節點下沉為它的左子樹或右子樹的根，也就是將較大的值上調
    int tmp = a[k];
    a[k] = a[left];
    a[left] = tmp;
    
    // 繼續從左子樹或右子樹開始，判斷根節點是否還要下沉
    k = left;
  }
}

演算法分析：

• 平均時間複雜度、最佳和最壞均是 O(nlgn)
• 空間複雜度 O(1)，原地排序
• 不穩定的排序演算法

8. 小結

每次看了，過段時間就忘，這次總結起來，方便檢視，也分享給大家，有問題歡迎交流。首發於公眾號「頓悟原始碼」，搜尋獲取更多原始碼分析和造的輪子