《編譯原理》LR 分析法與構造 LR(1) 分析表的步驟 - 例題解析

筆記

直接做題是有一些特定步驟，有技巧。但也必須先了解一些基本概念，本篇會通過例題形式解釋概念，會容易理解和記憶，以及解決類似問題。

如果只想做題可以直接下拉至習題部分。

（一）關於狀態

對於產生式 A→aBcD，就可以分解為下面幾個不同的識別狀態：

（1）A→.aBcD
（2）A→a.BcD
（3）A→aB.cD
（4）A→aBc.D
（5）A→aBcD.

“.” 的左部符號表示已被識別出來的那部分控制代碼符號

狀態（1）表示：處於控制代碼的頭
狀態（2）表示：已經識別出字元 a，等待 形成以 B 為產生式左部的右部

（二）什麼是 LR(k) 分析法？

字面意思理解：

LR 分析過程是規範歸約的過程

規範規約是最右推導的逆過程，最右推導是規範推導，所以 最左規約是規範規約。

LR 分析法根據當前分析棧中的符號串和向右順序檢視輸入串的 k 個符號就可以唯一確定分析器的動作是移進還是歸約、利用那個產生式進行歸約。

當沒有指明 k 是幾的時候，預設為 1

（三）文法的拓廣？

文法的拓廣是對現有文法，新增一個 S'，並對文法進行展開。

例如：

**對於文法 G[E]:
E → E+T|T
T → T*F|F
F → i|(E)**

可以把它拓廣為

**文法 G[E']:
E' → E
E → E+T|T
T → T*F|F
F → i|(E)**

此時可能會有疑問，不就是加了個開始符號，有什麼意義呢？為什麼要再加個開始符號呢？

加開始符號是為了狀態的表示，這樣原來的 S 會成為右部，可以表示 .S 和 S.

那同一非終結符的右部有多種情況為什麼不展開呢？

這裡是說拓廣文法，是新增開始符號，可以展開可以不展開，但是一般預設要展開，一般一道題不會只讓求拓廣文法，而是為了後面。一般題目中是說 “求該文法的拓廣文法並編號”，此時請一定要展開。展開後應該是這樣：

**1.E'→E
2.E → E+T
3.E → T
4.T → T*F
5.T → F
6.F → i
7.F → (E)**

（四）什麼是專案？專案有哪些分類？等價狀態？

上面提到拓廣文法，展開，以及編號。

先看例題：

對於文法 G[S]:
S → vI:T
I → I,i
I → i
T → r

可以把它拓廣並編號，如下：

文法 G[S']:
1.S' → S
2.S → vI:T
3.I → I,i
4.I → i
5.T → r

它的全部 LR(0) 專案，如下：

1.S' → .S
2.S' → S.
3.S → .vI:T
4.S → v.I:T
5.S → vI.:T
6.S → vI:.T
7.S → vI:T.
8.I → .I,i
9.I → I.,i
10.I → I,.i
11.I → I,i.
12.I → .i
13.I → i.
14.T → .r
15.T → r.

對上面 LR(0) 專案進行分類

誰和誰是等價狀態？

例如：

待約專案 4 即 S→v.I:T 它的含義是等待棧頂規約出 I，但尚未識別對應 I 的那些控制代碼的任何符號；

專案 8 即 I→.I,i 和專案 12 即 I→.i 的含義也是期待棧頂形成 I 的控制代碼，所以這三個專案的含義是一樣的，即 4, 8, 12 三個狀態是等價的。

同理：專案 6 即 S → vI:.T 和專案 14 即 T → .r 也是等價的

為什麼它們是等價狀態？怎麼判斷等價狀態？

上面有說因為他們表示的含義是一樣的，並且會發現等價肯定涉及至少一個待約專案，以及一個 . 在最左端的移進專案。

這是因為，待約專案是 . 後面跟非終結符，這個 . 是在非終結符的前面；當存在該非終結符的產生式時，且 . 在最左端的時候。因為 . 在最左端，其實也是相當於在該非終結符的前面。所以是一個等價的狀態。

（五）LR 分析表介紹

LR 分析器的關鍵部分是 分析表的構造。分析表有以下幾種：

規範的 LR 分析表：

• LR(0)，能力最弱，侷限性較大，但理論上最重要。
• LR(1)，它功能最強，但代價也最大。

簡單的 LR 分析表：

• 簡稱 SLR ，最容易實現，但功能最弱。

向前看的 LR 分析表：

• 簡稱 LALR，功能和代價處於前兩者之間，適用於絕大多數程式語言的文法

總結： LR(0) 功能最弱，功能弱是說當文法中產生式比較複雜，出現某些問題時，無法解決。這些問題一部分可以由 SLR 分析法解決。但還有一部分 SLR 解決不了，可以用 LR(1) 來解決。

（六）關於 “展望”

在規範歸約過程中，一方面記住已移進和歸約出的整個符號串，即記住 “歷史”，另一方面根據所用的產生式推測未來可能碰到的輸入符號，即對未來進行 “展望”。

當一串貌似控制代碼的符號串呈現於分析棧的頂端時，根據所記載的 “歷史” 和 “展望” 材料，來確定棧頂的符號串是否構成控制代碼。

為了記住分析的 “歷史” 和彙集 “展望” 的資訊，LR 分析法這樣處理：

將歸約過程的 “歷史” 和 “展望” 材料綜合抽象成某些狀態，存放在一個狀態棧中，棧中每個狀態都概括了從分析開始直到某一歸約階段的全部“歷史”和“展望”材料。

LR(1) 分析法這樣處理：

首先，明白了在 LR(1) 分析法中展望是為了解決其他分析法解決不了的問題。簡單的說就是，狀態會出現衝突，我們不能只通過後 1 個輸入串符號，直接確定選用哪個產生式，這是嚴重的錯誤。

所以 展望 是通過展望後面的內容，所以展望對應的終結符，應該 屬於該非終結符的 FOLLOW 集（確切的說，屬於 FOLLOW 集中的具體哪個個終結符，應該根據產生式的推導過程確定，通過語法樹來分析，是最直觀的方法），來幫助唯一確定選擇產生式。

在 LR(1) 中，用

狀態, 終結符
例如：S' → # （#表示開始符號FOLLOW集會提到那個符號，有的地方用 $，是一樣的 ）

這種形式是表式展望，終結符就是展望的後面的終結符，具體的下面例題中還會提到。

（七）終極例題 - LR(1) 分析表的構造

給定文法 G[S]：

S→L=R | R
L→*R | id
R→L

回答以下問題：

（1）文法的拓廣並編號
（2）LR(1) 專案集規範族所對應的識別活字首的 DFA
（3）構造 LR(1) 分析表

解析：

1）文法的拓廣並編號：

拓廣文法 G[S']：

（0）S'→S
（1）S→L=R
（2）S→R
（3）L→*R
（4）L→id
（5）R→L

2）LR(1) 專案集規範族所對應的識別活字首的 DFA*

這裡就涉及到 “展望” 這個知識點了

（圖片來源：中國大學慕課 -《編譯原理》哈爾濱工業大學 陳老師）

該 DFA 有窮自動機的解釋：

（1）這樣表示形式就是自動機，每個方框表示一個狀態，從 I₀ 到 I₁₃ 所以共有 14 個狀態。
（2）每個狀態中包含的多個專案，都是等價的。
（3）每個專案中逗號後面的終結符或者 # 表示展望的終結符。
（4）關於畫出 DFA 的步驟：

• 以 I₀ 為例，首先對於 0 號產生式 S' → S，可知應該有 S' → .S 和 S' → S. 兩個狀態，因為 S' 是開始符號，展望是屬於 FOLLOW 集的，展望應該是 #，可以得出 S' → .S, #
• 因為 .S 表示等待規約出 S 的狀態。並且 S→L=R，所以 .S 和 .L=R 是兩個等價的狀態。但需要注意的是此時的 FOLLOW 集應該 S 的 FOLLOW 集，而不是 L 的，也不 R 的
• 同理，因為有 S→R，則 .S 和 .R 是兩個等價的狀態。
• 有了 .R，應該繼續去找 R 為左部的產生式，因為有 R→L，所以 .S 和 .L 是兩個等價的狀態。
• 注意： 在找 R 的展望終結符時，展望 是通過展望後面的內容，所以展望對應的終結符，應該 屬於該非終結符的 FOLLOW 集（確切的說，屬於 FOLLOW 集中的具體哪個個終結符，應該根據產生式的推導過程確定，通過語法樹來分析，是最直觀的方法）

（圖片來源：中國大學慕課 -《編譯原理》哈爾濱工業大學 陳老師）

可以看出來 R 的展望應該有兩種情況，一個是 =，一種是 #

但此時，我們通過 S → R 找到的 R，所以應該是 #

不斷迴圈通過，將 . 後移，判斷下一個狀態，找出等價狀態，直到判斷完成。

3）構造 LR(1) 分析表

根據自動機即可構造 LL(1) 分析表：

（圖片來源：中國大學慕課 -《編譯原理》哈爾濱工業大學 陳老師）

LL(1) 分析表解釋補充：

（1）內容 LL(1) 分析表 = 動作表 (ACTION) + 狀態轉移表(GOTO)
（2）動作表 中的每一個元素 ACTION[S,a] 規定了當 棧頂狀態 為 S，且面臨輸入符號 a 時應採取的動作。根據自動機中的終結符邊可判斷。
（3）狀態轉換表 中的每一個元素 GOTO[S,x] 規定了當狀態 S 面對文法符號位 x 時的下一個狀態。根據自動機中的非終結符邊可判斷。
（4）動作表 的列對應所有終結符加上 #
（5）狀態轉換表 的列對應所有非終結符，不包括 S'，因為 S 就是開始符號，S' 是為了使 “接收狀態” 易於識別，所引入的。

總結

易錯點：

求 展望對應的終結符 是通過展望後面的內容，所以展望對應的終結符，應該 屬於該非終結符的 FOLLOW 集（確切的說，屬於 FOLLOW 集中的具體哪個個終結符，應該根據產生式的推導過程確定，通過語法樹來分析，是最直觀的方法