動態規劃

　　動態規劃（Dynamic Programming，DP）是一種將複雜問題分解成更小的子問題來解決的優化演算法。下面有一些用動態規劃來解決實際問題的演算法：

最少硬幣找零

　　給定一組硬幣的面額，以及要找零的錢數，計算出符合找零錢數的最少硬幣數量。例如，美國硬幣面額有1、5、10、25這四種面額，如果要找36美分的零錢，則得出的最少硬幣數應該是1個25美分、1個10美分和1個10美分共三個硬幣。這個演算法要解決的就是諸如此類的問題。我們來看看如何用動態規劃的方式來解決。

　　對於每一種面額，我們都分別計算所需要的硬幣數量。具體演算法如下：

1. 如果全部用1美分的硬幣，一共需要36個硬幣
2. 如果用5美分的硬幣，則需要7個5美分的硬幣 + 1個1美分的硬幣 = 8個硬幣
3. 如果用10美分的硬幣，則需要3個10美分的硬幣 + 1個5美分的硬幣 + 1個1美分的硬幣 = 5個硬幣
4. 如果用25美分的硬幣，則需要1個25美分的硬幣 + 1個10美分的硬幣 + 1個1美分的硬幣 = 3個硬幣

　　對應的示意圖如下：

　　方案4的硬幣總數最少，因此為最優方案。

　　具體的程式碼實現如下：

function minCoinChange(coins, amount) {
    let result = null;
    if (!amount) return result;

    const makeChange = (index, value, min) => {
        let coin = coins[index];
        let newAmount = Math.floor(value / coin);
        if (newAmount) min[coin] = newAmount;
        if (value % coin !== 0) {
            makeChange(--index, value - coin * newAmount, min);
        }
    };

    const arr = [];
    for (let i = 0; i < coins.length; i++) {
        const cache = {};
        makeChange(i, amount, cache);
        arr.push(cache);
    }

    console.log(arr);
    let newMin = 0;
    arr.forEach(item => {
        let min = 0;
        for (let v in item) min += item[v];
        if (!newMin || min < newMin) {
            newMin = min;
            result = item;
        }
    });
    return result;
}

　　函式minCoinChange()接收一組硬幣的面額，以及要找零的錢數。我們將上面例子中的值傳入：

const result = minCoinChange2([1, 5, 10, 25], 36);
console.log(result);

　　得到如下結果：

[
  { '1': 36 },
  { '1': 1, '5': 7 },
  { '1': 1, '5': 1, '10': 3 },
  { '1': 1, '10': 1, '25': 1 }
]
{ '1': 1, '10': 1, '25': 1 }

　　上面的陣列是我們在程式碼中打印出來的arr的值，用來展示四種不同面額的硬幣作為找零硬幣時，實際所需要的硬幣種類和數量。最終，我們會計算arr陣列中硬幣總數最少的那個方案，作為minCoinChange()函式的輸出。

　　當然在實際應用中，我們可以把硬幣抽象成任何你需要的數字，這個演算法能給出你滿足結果的最小組合。

揹包問題

　　揹包問題是一個組合優化問題，它被描述為：給定一個具有固定容量的揹包capacity，以及一組具有價值（value）和重量（weight）的物品，找出一個最優方案，使得裝入揹包的物品的總重量不超過capacity，且總價值最大。

　　假設我們有以下物品，且揹包的總容量為5：

　　我們用矩陣來解決這個問題。首先，我們把物品和揹包的容量組成如下矩陣：

　　為了便於理解，我們將矩陣kS的第一列和第一行忽略（因為它們表示的是容量0和第0個物品）。然後，按照要求往矩陣的格子裡填數。如果當前的格子能放下對應的物品，存在以下兩種情況：

• a - 放入當前物品，然後剩餘的重量再放入前一個物品
• b - 不放入當前物品，放入前一個物品

　　在上面的表格中，

1. 當揹包的重量為1時，沒有物品能放入，所以都是0，這個很好理解。
2. 當揹包的重量為2時，物品1可以放入，那麼存在兩種情況：放入物品1（價值為3），剩餘的重量（揹包的重量2減去物品1的重量2，結果為0）再放入前一個物品；不放入物品1，放入前一個物品[0][2]，價值為0。所以最大價值就是max(3, 0)=3。
3. ......
4. 當揹包的重量為5時，放入物品2，兩種情況：放入物品2（價值為4），剩餘的重量（揹包的重量5減去物品2的重量3，結果為2）再放入前一個物品，是[1][2]，對應的價值是3；不放入物品2，，放入前一個物品[1][5]，價值為3。所以最大價值就是max(4+3, 3)=7。
5. ......

　　如果當前物品不能放入揹包，則忽略它，用前一個值代替。我們可以按照上面描述的過程把剩餘的格子都填滿，這樣表格中最後一個單元格里的值就是最優方案。

　　下面是具體的實現程式碼：

function knapSack(capacity, weights, values, n) {
    const kS = [];

    // 將ks初始化為一個空的矩陣
    for (let i = 0; i <= n; i++) {
        kS[i] = [];
    }

    for (let i = 0; i <= n; i++) {
        for (let w = 0; w <= capacity; w++) {
            // 忽略矩陣的第1列和第1行
            if (i === 0 || w === 0) {
                kS[i][w] = 0;
            }
            else if (weights[i - 1] <= w) {
                const a = values[i - 1] + kS[i - 1][w - weights[i - 1]];
                const b = kS[i - 1][w];
                kS[i][w] = Math.max(a, b);
            }
            else {
                kS[i][w] = kS[i - 1][w];
            }
        }
    }

    console.log(kS);
}

　　對於const a，其價值分為兩部分，第一部分就是它自己的價值（values[i - 1]），第二部分是用揹包剩餘的重量（w - weights[i - 1]）裝進前一個物品（kS[i - 1]）。對於const b，就是找前一個能放入這個重量的物品（kS[i - 1][w]）。然後取這兩種情況下的最大值。

　　測試一下knapSack()函式，

const capacity = 5;
const weights = [2, 3, 4];
const values = [3, 4, 5];
knapSack(capacity, weights, values, weights.length);

　　下面是矩陣kS的輸出結果：

[
  [ 0, 0, 0, 0, 0, 0 ],
  [ 0, 0, 3, 3, 3, 3 ],
  [ 0, 0, 3, 4, 4, 7 ],
  [ 0, 0, 3, 4, 5, 7 ]
]

 最長公共子序列（LCS）

　　找出兩個字串序列的最長子序列的長度。所謂最長子序列，是指兩個字串序列中以相同順序出現，但不要求連續的字串序列。例如下面兩個字串：

　　字串1：acbaed

　　字串2：abcadf

　　則LCS為acad。

　　和揹包問題的思路類似，我們用下面的表格來描述整個過程：

　　矩陣的第一行和第一列都被設定為0，剩餘的部分，遵循下面兩種情況：

• 如果wordX[i - 1]和wordY[j - 1]相等，則矩陣對應的單元格的值為單元格[i - 1][j - 1]的值加1。
• 如果wordX[i - 1]和wordY[j - 1]不相等，則找出單元格[i - 1][j]和單元格[i][j - 1]之間的最大值。

　　下面是具體的實現程式碼：

function lcs(wordX, wordY) {
    const m = wordX.length;
    const n = wordY.length;
    const l = [];
    for (let i = 0; i <= m; i++) {
        l[i] = [];
        for (let j = 0; j <= n; j++) {
            l[i][j] = 0;
        }
    }
    for (let i = 0; i <= m; i++) {
        for (let j = 0; j <= n; j++) {
            if (i === 0 || j === 0) {
                l[i][j] = 0;
            } else if (wordX[i - 1] === wordY[j - 1]) {
                l[i][j] = l[i - 1][j - 1] + 1;
            } else {
                const a = l[i - 1][j];
                const b = l[i][j - 1];
                l[i][j] = Math.max(a, b);
            }
        }
    }
    console.log(l);
    console.log(l[m][n]);
}

　　我們將矩陣打印出來，結果如下：

const wordX = ['a', 'c', 'b', 'a', 'e', 'd'];
const wordY = ['a', 'b', 'c', 'a', 'd', 'f'];
lcs(wordX, wordY);

[
  [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ],
  [ 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ],
  [ 0, 1, 1, 2, 2, 2, 2 ],
  [ 0, 1, 2, 2, 2, 2, 2 ],
  [ 0, 1, 2, 2, 3, 3, 3 ],
  [ 0, 1, 2, 2, 3, 3, 3 ],
  [ 0, 1, 2, 2, 3, 4, 4 ]
]
4

 　　矩陣中最後一個單元格的值為LCS的長度。那如何計算出LCS的具體內容呢？我們可以設計一個相同的solution矩陣，用來做標記，如果wordX[i - 1]和wordY[j - 1]相等，則將solution矩陣中對應的值設定為'diagonal'，即上面表格中背景為灰色的單元格。否則，根據[i][j]和[i - 1][j]是否相等標記為'top'或'left'。然後通過printSolution()方法來找出LCS的內容。修改之後的程式碼如下：

function printSolution(solution, wordX, m, n) {
    let a = m;
    let b = n;
    let x = solution[a][b];
    let answer = '';
    while (x !== '0') {
        if (solution[a][b] === 'diagonal') {
            answer = wordX[a - 1] + answer;
            a--;
            b--;
        } else if (solution[a][b] === 'left') {
            b--;
        } else if (solution[a][b] === 'top') {
            a--;
        }
        x = solution[a][b];
    }
    return answer;
}

function lcs(wordX, wordY) {
    const m = wordX.length;
    const n = wordY.length;
    const l = [];
    const solution = [];
    for (let i = 0; i <= m; i++) {
        l[i] = [];
        solution[i] = [];
        for (let j = 0; j <= n; j++) {
            l[i][j] = 0;
            solution[i][j] = '0';
        }
    }
    for (let i = 0; i <= m; i++) {
        for (let j = 0; j <= n; j++) {
            if (i === 0 || j === 0) {
                l[i][j] = 0;
            } else if (wordX[i - 1] === wordY[j - 1]) {
                l[i][j] = l[i - 1][j - 1] + 1;
                solution[i][j] = 'diagonal';
            } else {
                const a = l[i - 1][j];
                const b = l[i][j - 1];
                l[i][j] = Math.max(a, b);
                solution[i][j] = l[i][j] === l[i - 1][j] ? 'top' : 'left';
            }
        }
    }

    return printSolution(solution, wordX, m, n);
}

　　測試結果：

const wordX = ['a', 'c', 'b', 'a', 'e', 'd'];
const wordY = ['a', 'b', 'c', 'a', 'd', 'f'];
console.log(lcs(wordX, wordY)); // acad

貪心演算法

 　　貪心演算法遵循一種近似解決問題的技術，期盼通過每個階段的區域性最優選擇，從而達到全域性的最優。它不像動態規劃演算法那樣計算更大的格局。

最少硬幣找零

　　我們來看看如何用貪心演算法解決前面提到過的最少硬幣找零問題。

function minCoinChange(coins, amount) {
    const change = [];
    let total = 0;
    for (let i = coins.length - 1; i >= 0; i--) {
        const coin = coins[i];
        while (total + coin <= amount) {
            change.push(coin);
            total += coin;
        }
    }
    return change;
}

const result = minCoinChange([1, 5, 10, 25], 36);
console.log(result); // [ 25, 10, 1 ]

　　前提是coins陣列已經按從小到大排好序了，貪心演算法從最大值開始嘗試，如果該值不滿足條件（要找零的錢數），則繼續向下找，直到找到滿足條件的所有值。以上演算法並不能滿足所有情況下找出最優方案，例如下面這種情況：

const result = minCoinChange([1, 2, 5, 9, 10], 18);
console.log(result); // [ 10, 5, 2, 1 ]

　　給出的結果[10, 5, 2, 1]並不是最優方案，最優方案應該是[9, 9]。

　　與動態規劃相比，貪心演算法更簡單、效率更高。但是其結果並不總是最理想的。但是綜合看來，它相對執行時間來說，輸出一個可以接受的結果。

揹包問題

　　在動態規劃的例子裡，假定揹包的容量為5，最佳方案是往揹包裡裝入物品1和物品2，總價值為7。在貪心演算法中，我們需要考慮分數的情況，假定揹包的容量為6，裝入物品1和物品2之後，剩餘容量為1，可以裝入1/4的物品3，總價值為3+4+0.25×5=8.25。我們來看看具體的實現程式碼：

function knapSack(capacity, weights, values) {
    const n = values.length;
    let load = 0;
    let val = 0;
    for (let i = 0; i < n && load < capacity; i++) {
        if (weights[i] <= capacity - load) {
            val += values[i];
            load += weights[i];
            console.log(`物品${i + 1}，重量：${weights[i]}，價值：${values[i]}`);
        } else {
            const r = (capacity - load) / weights[i];
            val += r * values[i];
            load += weights[i];
            console.log(`物品${i + 1}的${r}，重量：${r * weights[i]}，價值：${val}`);
        }
    }

    return val;
}

　　從第一個物品開始遍歷，如果總重量小於揹包的容量，則繼續迭代，裝入物品。如果物品可以完整地裝入揹包，則將其價值和重量分別計入到變數val和load中，同時列印裝入物品的資訊。如果物品不能完整地裝入揹包，計算能夠裝入的比例r，然後將這個比例所對應的價值和重量分別計入到變數val和load中，同時列印物品的資訊。最終輸出總的價值val。下面是測試結果：

const capacity = 6;
const weights = [2, 3, 4];
const values = [3, 4, 5];
console.log(knapSack(capacity, weights, values));

物品1，重量：2，價值：3
物品2，重量：3，價值：4
物品3的0.25，重量：1，價值：8.25
8.25

　　在動態規劃演算法中，如果將揹包的容量也設定為6，計算結果則為8。

最長公共子序列（LCS）

　　最後我們再來看看如何用貪心演算法解決LCS的問題。下面的程式碼返回了兩個給定陣列中的LCS的長度：

function lcs(wordX, wordY, m = wordX.length, n = wordY.length) {
    if (m === 0 || n === 0) {
        return 0;
    }
    if (wordX[m - 1] === wordY[n - 1]) {
        return 1 + lcs(wordX, wordY, m - 1, n - 1);
    }
    const a = lcs(wordX, wordY, m, n - 1);
    const b = lcs(wordX, wordY, m - 1, n);
    return a > b ? a : b;
}

const wordX = ['a', 'c', 'b', 'a', 'e', 'd'];
const wordY = ['a', 'b', 'c', 'a', 'd', 'f'];
console.log(lcs(wordX, wordY)); // 4