為什麼要做特徵歸一化/標準化？
目錄
- 寫在前面
- 常用feature scaling方法
- 計算方式上對比分析
- feature scaling 需要還是不需要
- 什麼時候需要feature scaling？
- 什麼時候不需要Feature Scaling？
- 小結
- 參考
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寫在前面
Feature scaling，常見的提法有“特徵歸一化”、“標準化”，是資料預處理中的重要技術，有時甚至決定了演算法能不能work以及work得好不好。談到feature scaling的必要性，最常用的2個例子可能是：
特徵間的單位（尺度）可能不同，比如身高和體重，比如攝氏度和華氏度，比如房屋面積和房間數，一個特徵的變化範圍可能是\([1000, 10000]\)，另一個特徵的變化範圍可能是\([-0.1, 0.2]\)，在進行距離有關的計算時，單位的不同會導致計算結果的不同，尺度大的特徵會起決定性作用，而尺度小的特徵其作用可能會被忽略，為了消除特徵間單位和尺度差異的影響，以對每維特徵同等看待，需要對特徵進行歸一化。
原始特徵下，因尺度差異，其損失函式的等高線圖可能是橢圓形，梯度方向垂直於等高線，下降會走zigzag路線，而不是指向local minimum。通過對特徵進行zero-mean and unit-variance變換後，其損失函式的等高線圖更接近圓形，梯度下降的方向震盪更小，收斂更快，如下圖所示，圖片來自Andrew Ng。
對於feature scaling中最常使用的Standardization，似乎“無腦上”就行了，本文想多探究一些為什麼，
- 常用的feature scaling方法都有哪些？
- 什麼情況下該使用什麼feature scaling方法？有沒有一些指導思想？
- 所有的機器學習演算法都需要feature scaling嗎？有沒有例外？
- 損失函式的等高線圖都是橢圓或同心圓嗎？能用橢圓和圓來簡單解釋feature scaling的作用嗎？
- 如果損失函式的等高線圖很複雜，feature scaling還有其他直觀解釋嗎？
根據查閱到的資料，本文將嘗試回答上面的問題。但筆者能力有限，空有困惑，能講到哪算哪吧（微笑）。
常用feature scaling方法
在問為什麼前，先看是什麼。
給定資料集，令特徵向量為\(x\)，維數為\(D\)，樣本數量為\(R\)，可構成\(D \times R\)的矩陣，一列為一個樣本，一行為一維特徵，如下圖所示，圖片來自Hung-yi Lee pdf-Gradient Descent：
feature scaling的方法可以分成2類，逐行進行和逐列進行。逐行是對每一維特徵操作，逐列是對每個樣本操作，上圖為逐行操作中特徵標準化的示例。
具體地，常用feature scaling方法如下，來自wiki，
Rescaling (min-max normalization、range scaling)：
\[ x^{\prime}=a+\frac{(x-\min (x))(b-a)}{\max (x)-\min (x)} \]
將每一維特徵線性對映到目標範圍\([a, b]\)，即將最小值對映為\(a\)，最大值對映為\(b\)，常用目標範圍為\([0, 1]\)和\([-1, 1]\)，特別地，對映到\([0, 1]\)計算方式為：
\[ x^{\prime}=\frac{x-\min (x)}{\max (x)-\min (x)} \]Mean normalization：
\[ x^{\prime}=\frac{x-\bar{x}}{\max (x)-\min (x)} \]
將均值對映為0，同時用最大值最小值的差對特徵進行歸一化，一種更常見的做法是用標準差進行歸一化，如下。Standardization (Z-score Normalization)：
\[ x^{\prime}=\frac{x-\bar{x}}{\sigma} \]
每維特徵0均值1方差（zero-mean and unit-variance）。Scaling to unit length：
\[ x^{\prime}=\frac{x}{\|x\|} \]
將每個樣本的特徵向量除以其長度，即對樣本特徵向量的長度進行歸一化，長度的度量常使用的是L2 norm（歐氏距離），有時也會採用L1 norm，不同度量方式的一種對比可以參見論文“CVPR2005-Histograms of Oriented Gradients for Human Detection”。
上述4種feature scaling方式，前3種為逐行操作，最後1種為逐列操作。
容易讓人困惑的一點是指代混淆，Standardization指代比較清晰，但是單說Normalization有時會指代min-max normalization，有時會指代Standardization，有時會指代Scaling to unit length。
計算方式上對比分析
前3種feature scaling的計算方式為減一個統計量再除以一個統計量，最後1種為除以向量自身的長度。
- 減一個統計量可以看成選哪個值作為原點，是最小值還是均值，並將整個資料集平移到這個新的原點位置。如果特徵間偏置不同對後續過程有負面影響，則該操作是有益的，可以看成是某種偏置無關操作；如果原始特徵值有特殊意義，比如稀疏性，該操作可能會破壞其稀疏性。
- 除以一個統計量可以看成在座標軸方向上對特徵進行縮放，用於降低特徵尺度的影響，可以看成是某種尺度無關操作。縮放可以使用最大值最小值間的跨度，也可以使用標準差（到中心點的平均距離），前者對outliers敏感，outliers對後者影響與outliers數量和資料集大小有關，outliers越少資料集越大影響越小。
- 除以長度相當於把長度歸一化，把所有樣本對映到單位球上，可以看成是某種長度無關操作，比如，詞頻特徵要移除文章長度的影響，影象處理中某些特徵要移除光照強度的影響，以及方便計算餘弦距離或內積相似度等。
稀疏資料、outliers相關的更多資料預處理內容可以參見scikit learn-5.3. Preprocessing data。
從幾何上觀察上述方法的作用，圖片來自CS231n-Neural Networks Part 2: Setting up the Data and the Loss，zero-mean將資料集平移到原點，unit-variance使每維特徵上的跨度相當，圖中可以明顯看出兩維特徵間存線上性相關性，Standardization操作並沒有消除這種相關性。
可通過PCA方法移除線性相關性（decorrelation），即引入旋轉，找到新的座標軸方向，在新座標軸方向上用“標準差”進行縮放，如下圖所示，圖片來自連結，圖中同時描述了unit length的作用——將所有樣本對映到單位球上。
當特徵維數更多時，對比如下，圖片來自youtube，
總的來說，歸一化/標準化的目的是為了獲得某種“無關性”——偏置無關、尺度無關、長度無關……當歸一化/標準化方法背後的物理意義和幾何含義與當前問題的需要相契合時，其對解決該問題就有正向作用，反之，就會起反作用。所以，“何時選擇何種方法”取決於待解決的問題，即problem-dependent。
feature scaling 需要還是不需要
下圖來自data school-Comparing supervised learning algorithms，對比了幾個監督學習演算法，最右側兩列為是否需要feature scaling。
下面具體分析一下。
什麼時候需要feature scaling？
涉及或隱含距離計算的演算法，比如K-means、KNN、PCA、SVM等，一般需要feature scaling，因為
zero-mean一般可以增加樣本間餘弦距離或者內積結果的差異，區分力更強，假設資料集集中分佈在第一象限遙遠的右上角，將其平移到原點處，可以想象樣本間餘弦距離的差異被放大了。在模版匹配中，zero-mean可以明顯提高響應結果的區分度。
就歐式距離而言，增大某個特徵的尺度，相當於增加了其在距離計算中的權重，如果有明確的先驗知識表明某個特徵很重要，那麼適當增加其權重可能有正向效果，但如果沒有這樣的先驗，或者目的就是想知道哪些特徵更重要，那麼就需要先feature scaling，對各維特徵等而視之。
增大尺度的同時也增大了該特徵維度上的方差，PCA演算法傾向於關注方差較大的特徵所在的座標軸方向，其他特徵可能會被忽視，因此，在PCA前做Standardization效果可能更好，如下圖所示，圖片來自scikit learn-Importance of Feature Scaling，
損失函式中含有正則項時，一般需要feature scaling：對於線性模型\(y=wx+b\)而言，\(x\)的任何線性變換（平移、放縮），都可以被\(w\)和\(b\)“吸收”掉，理論上，不會影響模型的擬合能力。但是，如果損失函式中含有正則項，如\(\lambda ||w||^2\)，\(\lambda\)為超引數，其對\(w\)的每一個引數施加同樣的懲罰，但對於某一維特徵\(x_i\)而言，其scale越大，係數\(w_i\)越小，其在正則項中的比重就會變小，相當於對\(w_i\)懲罰變小，即損失函式會相對忽視那些scale增大的特徵，這並不合理，所以需要feature scaling，使損失函式平等看待每一維特徵。
梯度下降演算法，需要feature scaling。梯度下降的引數更新公式如下，
\[ W(t+1)=W(t)-\eta \frac{d E(W)}{d W} \]
\(E(W)\)為損失函式，收斂速度取決於：引數的初始位置到local minima的距離，以及學習率\(\eta\)的大小。一維情況下，在local minima附近，不同學習率對梯度下降的影響如下圖所示，
多維情況下可以分解成多個上圖，每個維度上分別下降，引數\(W\)為向量，但學習率只有1個，即所有引數維度共用同一個學習率（暫不考慮為每個維度都分配單獨學習率的演算法）。收斂意味著在每個引數維度上都取得極小值，每個引數維度上的偏導數都為0，但是每個引數維度上的下降速度是不同的，為了每個維度上都能收斂，學習率應取所有維度在當前位置合適步長中最小的那個。下面討論feature scaling對gradient descent的作用，
zero center與引數初始化相配合，縮短初始引數位置與local minimum間的距離，加快收斂。模型的最終引數是未知的，所以一般隨機初始化，比如從0均值的均勻分佈或高斯分佈中取樣得到，對線性模型而言，其分介面初始位置大致在原點附近，bias經常初始化為0，則分介面直接通過原點。同時，為了收斂，學習率不會很大。而每個資料集的特徵分佈是不一樣的，如果其分佈集中且距離原點較遠，比如位於第一象限遙遠的右上角，分介面可能需要花費很多步驟才能“爬到”資料集所在的位置。所以，無論什麼資料集，先平移到原點，再配合引數初始化，可以保證分介面一定會穿過資料集。此外，outliers常分佈在資料集的外圍，與分介面從外部向內挪動相比，從中心區域開始挪動可能受outliers的影響更小。
對於採用均方誤差損失LMS的線性模型，損失函式恰為二階，如下圖所示
\[ E(W)=\frac{1}{2 P} \sum_{p=1}^{P}\left|d^{p}-\sum_{i} w_{i} x_{i}^{p}\right|^{2} \]
不同方向上的下降速度變化不同（二階導不同，曲率不同），恰由輸入的協方差矩陣決定，通過scaling可以減小不同方向上的曲率差異。將每個維度上的下降分解來看，給定一個下降步長，如果不夠小，有的維度下降的多，有的下降的少，有的還可能在上升，損失函式的整體表現可能是上升也可能是下降，就會不穩定。scaling後不同方向上的曲率相對更接近，更容易選擇到合適的學習率，使下降過程相對更穩定。- 另有從Hessian矩陣特徵值以及condition number角度的理解，詳見Lecun paper-Efficient BackProp中的Convergence of Gradient Descent一節，有清晰的數學描述，同時還介紹了白化的作用——解除特徵間的線性相關性，使每個維度上的梯度下降可獨立看待。
- 文章開篇的橢圓形和圓形等高線圖，僅在採用均方誤差的線性模型上適用，其他損失函式或更復雜的模型，如深度神經網路，損失函式的error surface可能很複雜，並不能簡單地用橢圓和圓來刻畫，所以用它來解釋feature scaling對所有損失函式的梯度下降的作用，似乎過於簡化，見Hinton vedio-3.2 The error surface for a linear neuron。
對於損失函式不是均方誤差的情況，只要權重\(w\)與輸入特徵\(x\)間是相乘關係，損失函式對\(w\)的偏導必然含有因子\(x\)，\(w\)的梯度下降速度就會受到特徵\(x\)尺度的影響。理論上為每個引數都設定上自適應的學習率，可以吸收掉\(x\)尺度的影響，但在實踐中出於計算量的考慮，往往還是所有引數共用一個學習率，此時\(x\)尺度不同可能會導致不同方向上的下降速度懸殊較大，學習率不容易選擇，下降過程也可能不穩定，通過scaling可對不同方向上的下降速度有所控制，使下降過程相對更穩定。
對於傳統的神經網路，對輸入做feature scaling也很重要，因為採用sigmoid等有飽和區的啟用函式，如果輸入分佈範圍很廣，引數初始化時沒有適配好，很容易直接陷入飽和區，導致梯度消失，所以，需要對輸入做Standardization或對映到\([0,1]\)、\([-1,1]\)，配合精心設計的引數初始化方法，對值域進行控制。但自從有了Batch Normalization，每次線性變換改變特徵分佈後，都會重新進行Normalization，似乎可以不太需要對網路的輸入進行feature scaling了？但習慣上還是會做feature scaling。
什麼時候不需要Feature Scaling？
- 與距離計算無關的概率模型，不需要feature scaling，比如Naive Bayes；
- 與距離計算無關的基於樹的模型，不需要feature scaling，比如決策樹、隨機森林等，樹中節點的選擇只關注當前特徵在哪裡切分對分類更好，即只在意特徵內部的相對大小，而與特徵間的相對大小無關。
小結
這篇文章寫的十分艱難，一開始以為蠻簡單直接，但隨著探索的深入，冒出的問號越來越多，打破了很多原來的“理所當然”，所以，在寫的過程中不停地做加法，很多地方想解釋得儘量直觀，又不想照搬太多公式，但自己的理解又不夠深刻，導致現在敘述這麼冗長，希望以後在寫文時能更專注更精煉。
Sigh。。。
參考
wiki-Feature scaling
wiki-Backpropagation
Hung-yi Lee pdf-Gradient Descent
quora-Why does mean normalization help in gradient descent?
scikit learn-Importance of Feature Scaling
scikit learn-5.3. Preprocessing data
scikit learn-Compare the effect of different scalers on data with outliers
data school-Comparing supervised learning algorithms
Lecun paper-Efficient BackProp
Hinton vedio-3.2 The error surface for a linear neuron
CS231n-Neural Networks Part 2: Setting up the Data and the Loss
ftp-Should I normalize/standardize/rescale the data?
medium-Understand Data Normalization in Machine Learning
Normalization and Standardization
How and why do normalization and feature scaling work?
Is it a good practice to always scale/normalize data for machine learning?
When conducting multiple regression, when should you center your predictor variables & when should you standardize them?