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正文開始之前，我們先來講一個故事。

在很久很久以前，有一個萬人迷。

她從18歲開始就有數不完的追求者，追她的男生一個個在她的窗前排起了長隊。但是她挑來挑去，終究不覺得滿意。終於，這個萬人迷一天天長大，年老色衰，在她門口排隊的男生也越來越少。

她開始後悔拒絕男生時的輕率，懷念起了從前的榮光。她也不知道，最後她是會向現實妥協，選擇一個看起來遠不是那麼好的男生共度一生，還是會就這麼一直等下去。

這樣的故事其實並不罕見，知乎裡關於剩男剩女以及婚嫁的問題屢見不鮮。選擇配偶也是我們人生當中的必經之路，蘇格拉底說過，人生就是一次無法重複的選擇，在婚姻這個問題上尤為明顯。

那麼問題來了，如果我們是故事中的萬人迷，我們應該如何選擇配偶呢？

即使是真的萬人迷，她可以選擇的配偶也一定是有限的。我們可以做一個簡單的量化，假設她一年平均有30個追求者，她打算28歲結婚。那麼從她18歲開始算起，假設她的魅力保持不變，她一共可以遇到300個潛在的配偶。

這個數字對於每個女生而言各有不同，但是它其實並不重要，並不會影響我們的計算過程。為了簡化計算，我們就假設它為n。接著，我們再進一步簡化模型，假設這n個男生排成一隊，一個一個地來發起追求。我們假設女生面臨每個追求者的時候只會有兩個選擇，一是直接拒絕，二是答應追求，從此牽手共度一生。

那麼，我們來做一個好的決策呢？

和現實中一樣，一種比較聰明的做法是，先和前面的一些男生每個人都相處一段時間，做一個瞭解，摸清這些男生大概的水平底細之後再認真考慮。抽象成數學模型來，就是女生會直接拒絕掉前面k個男生，從第k+1個男生開始一一和前面k個男生比對。當一個比前面k個男生都要好的男生出現的時候，她果斷選擇接受，從此和他共度一生。

如此一來，這就成了一個數學問題，究竟這個k應該等於多少，才可以使得女生選中所有男生當中最好的那個的概率最大呢？

所以，我們應該怎麼求出這個K呢？

對於某個固定的K，我們假設最佳配偶出現在了第i的位置。想讓他能被挑選中，必須要保證前面i-1個人中的最好的配偶出現在前K個人當中。也就是說如果真命天子前面沒有出現另一個優質的男生，會導致女生在遇見真命天子前就草草選擇。從這個問題上來說，真命天子也需要好的對手陪襯。

這個概率不難計算，是：\(\frac{K}{i-1}\)。

那麼，我們對所有的i進行加權求和即可：

\(P(K)=\sum_{i=K+1}^n\frac{1}{n}\cdot \frac{K}{i-1}=\frac{K}{n}\sum_{i=K+1}^n\frac{1}{i-1}\)

我們假設n是一個很大的值，我們可以先算後面的部分。如果n足夠大，可以認為

\[\sum_{i=K+1}^n\frac{1}{i-1}=\int_{K}^n\frac{1}{t}dt=ln(n)-ln(K)=ln(\frac{n}{K})\]

我們令\(x=\frac{K}{n}\)

求積分，可以得到：

\(P(K)=x(ln(\frac{n}{K}))=x(ln(\frac{1}{x}))=-x\cdot ln(x)\)

我們對\(P(K)\)的求導，令它等於0，可以求出\(P(K)\)最大時\(x=\frac{1}{e}\)。這裡的\(e\)就是數學當中經常出現的尤拉常數，也叫自然底數，\(\frac{1}{e}\)約等於37%. 那麼，算到了這個結果，這個問題也就有了答案。

如果你是一個萬人迷，那麼你應該拒絕掉前面37%的追求者，然後在剩下的63%的男士當中挑選一個比前面都強的作為配偶。那麼你選到最佳配偶的概率達到最大值，它的概率為37%。

雖然有了答案，但是我們並不知道這個答案對不對，但是沒關係，我們是程式設計師，可以用程式碼來模擬。

我們就按照萬人迷的配置來設定好了，假設她一生當中會面臨300個追求者。我們假設這三百個追求者的好壞層次不齊，按照分數排序，可以得到一個0到299的序號。排名越靠後，說明分數越大，男生越優質，然後我們再對這些男生進行亂序。

import random

def generateBoys():
    boys = [i for i in range(300)]
    random.shuffle(boys)
    return boys

接著我們來編寫程式的主體，其實也很簡單，我們模擬進行許多次同樣的配偶選擇，模擬出我們通過這種策略能夠選中最佳配偶的概率，程式碼並不難寫：

# iterations 是模擬擇偶的次數
def simulation(iterations=10000):
    matched = 0
    for i in range(iterations):
        # 每次都建立新的追求者集合
        boys = generateBoys()
        # 最佳配偶的序號
        best = max(boys)
        maxi = 0
        partner = 0
        # 計算K， K=0.37 * 追求者總數
        pickedNum = int(0.37 * len(boys))
        for j in range(pickedNum):
            maxi = max(maxi, boys[j])
        # 一旦找到比前K個最好的都要好的，就結束
        for j in range(pickedNum, len(boys)):
            if boys[j] > maxi:
                partner = boys[j]
                break
        # 判斷是否找到了最佳配偶
        if partner == best:
            matched += 1
    return matched / float(iterations)

最後，我們執行程式碼，得出的答案是0.3629。當然這也不是一個精確值，也是一個會波動的估算結果。迭代的次數越多，這個得到的結果越逼近真實值。用大量的實驗去測算某個事件發生的概率，這個也是統計學上常用的方法。

通過建模，我們把一個抽象的，無從下手的問題，簡化成了一個明確的數學問題。通過建立函式求最值的方法，求出了最優解。從結果上來看，如果真有一個姑娘能有這麼多追求者，通過一種方法可以擁有37%的概率挑中她的真命天子，也算是非常棒了。

但是數學模型的是理想的，現實和理想總是有些差別。現實中，我們的時間精力是有限的，我們不一定有時間來一一衡量前面追求者的優劣。而且追求者的分佈也不一定是隨機的，很有可能隨著我們自身的變化而變化。比如我們通過自己的努力，去往了更好的學校、公司，那麼我們接觸到的異性也會更好。

不過儘管如此，這道演算法問題對我們還是很有借鑑意義，希望能夠給大家帶來啟發。

今天的文章就到這裡，希望大家有所收穫。如果喜歡本文，請順手點個關注吧。

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