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今天和大家一起復習的是洛必達法則，這個法則非常重要，在許多問題的解法當中都有出現。雖然時隔多年，許多知識點都已經還給老師了，但是我仍然還記得當年大一的時候，高數老師在講臺上慷慨激昂的樣子。

上篇文章當中我們回顧了微分中值定理，今天要說的洛必達法則其實是微分中值定理一個經典的應用。所以有遺忘或者是新關注的同學可以點下下方的連結回顧一下上篇文章的內容。

高等數學——微分中值定理

用處

我們學習的目的往往很樸素，就是學以致用，之前的時候我總覺得這種想法有些現實，後來我發現很多學了不能致用的知識都忘得差不多了。所以儘管我們的心態要放好，但是操作的時候可以實際一些，先從用處入手，也許能更好地理解也說不定。

洛必達法則的應用場景非常簡單，就是能解決一些一下子無法求解的極限問題。不知道大家有沒有發現，不管在什麼領域，總有一些一下子無法解決的問題。伴隨著對這些問題的研究，我們的技術和理論在不斷的進步，工作在不斷地簡化，效率越來越高。無論是數學上某個領域的突破還是計算機當中某些工具的迭代和演進，莫不如此。

我們之前介紹極限的文章當中講過一道例題：

\[\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\]

在這題當中，由於x趨向於0的時候，\(\sin x\)和x都趨向於0，我們要計算0除以0的結果，當時為了解決這個問題，我們用上了夾逼法，對它進行了縮放之後才得到了極限。類似的極限還有很多，本質上來說問題在於當分子和分母都趨向於0時，我們很難計算得到結果。

比如\(\frac{x}{x^2}\)，這個問題很簡單，只要進行約分，那麼就是\(\frac{1}{x}\)的極限，x趨向於0時，顯然\(\frac{1}{x}\)趨向於無窮大。但如果不約分呢？它就是一個極限0除以極限0的問題，和上面的結果不同，它的比值結果是無窮大。

洛必達法則就是為了解決上述這些極限問題而出現的。

定義

洛必達法則的本質是一個定理，它規定，如果一個形如\(\displaystyle \lim_{x \to a}\frac{f(x)}{F(x)}\)的極限，如果它滿足：

1. x趨向於常數a時，函式\(f(x)\)和\(F(x)\)都趨向於0
2. 在點a的去心鄰域內，\(f(x)\)和\(F(x)\)的導數都存在，並且\(F'(x) \neq 0\)
3. \(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{f'(x)}{F'(x)}\)存在

那麼：

\[\displaystyle \lim_{x \to a}\frac{f(x)}{F(x)}= \lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{F'(x)}\]

也就是當變數趨向於一個常數時，如果分子分母函式的導數存在，那麼我們可以用導數的極限比值來代替原函式的比值。

我們來試著證明這個定理，如果你回顧了微分中值定理的話，這個定理的證明非常簡單。我們來試一下證明。

證明

由於函式在a點的去心鄰域可導，也就是說函式在這個a的去心鄰域內連續。那麼我們套用柯西中值定理，在x趨向於a時，可以得到在區間(a, x)內找到一個點\(\xi\)，使得：

\[\frac{f(x)-f(a)}{F(x)-F(a)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}\]

到這裡還差一點，因為還少了一個條件，書上的解釋是由於函式比值的極限與函式值無關，所以可以假設f(a)和F(a)等於0。我個人覺得這樣有些不厚道，就和證明過程裡寫易證、易得是一樣的。其實我們只要將這兩做差，證明一下差值等於0即可。

\[\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{F(x)-F(a)}-\frac{f(x)}{F(x)}\]

通分之後，可以得到：

\[\lim_{x\to a}f(x)F(a)-f(a)F(x)\]

到這裡，不難看出來，當x趨向於a的時候，上面的差值趨向於0，所以：

\[\frac{f(x)-f(a)}{F(x)-F(a)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}=\frac{f(x)}{F(x)}\]

由於x趨向於a的時候，\(\xi\)也趨向於a，那麼我們就得到了：

\[\displaystyle \lim_{x \to a}\frac{f(x)}{F(x)}= \lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{F'(x)}\]

嘗試

我們學會了洛必達法則之後就可以活學活用來解決一些比較棘手的極限問題了。比如剛才我們舉的例子就再也不是問題了。

\[\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{1}=1\]

再來看一個：

\[\lim_{x\to 1}\frac{x^3 - 3x + 2}{x^3 - x^2 -x +1}=\lim_{x\to 1}\frac{3x^2 - 3}{3x^2 - 2x -1}\]

到這裡我們還是無法得到結果，看樣子是卡殼了。但是彆著急，洛必達法則是可以巢狀使用的。原因很簡單，只要我們把\(f'(x)\)看成是新的\(f(x)\)，\(F'(x)\)看成是新的\(F(x)\)，那麼我們可以繼續使用洛必達法則。也就是說，我們可以得到：

\[\displaystyle \lim_{x \to a}\frac{f(x)}{F(x)}= \lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{F'(x)}=\frac{f''(x)}{F''(x)}\]

當然使用巢狀也存在前提，前提就是二階導數存在，並且\(F''(x)\neq 0\)。同樣的道理，只要高階導數存在，並且分母不為0，我們可以一直巢狀下去。所以洛必達法則也可以稱為套娃法則[狗頭]。有了套娃之後，問題就簡單了，上面的問題我們只要往下套就行了：

\[\lim_{x\to 1}\frac{3x^2 - 3}{3x^2 - 2x -1}=\lim_{x\to 1}\frac{6x}{6x - 2}=\frac{3}{2}\]

變形

除了套娃之外，洛必達法則還存在一個著名的變形。前面討論的使用範疇都是在x趨向於一個常數的情況下的，其實在一些特殊的情況下，當x趨向於正無窮時，我們一樣可以套用洛必達法則。和基礎版本一樣，同樣需要函式f(x)和F(x)滿足一些條件：

1. x趨向於正無窮時，f(x)和F(x)同時趨向於0或者無窮
2. 存在N使得當|x| > N時，f'(x)和F'(x)都存在，並且F'(x)不等於0
3. \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{f'(x)}{F'(x)}\)存在

我們來看個例子：\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{\ln x}{x^2}\)

我們可以看出來，當x趨向於無窮的時候，分子分母都趨向於無窮。所以我們可以使用洛必達法則：

\[\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{\ln x}{x^2}=\lim_{x\to +\infty}\frac{\frac{1}{x}}{2x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{2x^2}=0\]

總結

洛必達法則在高數當中非常重要，尤其是在計算極限的時候，很多看起來很麻煩的極限在經過洛必達法則的轉換之後說不定就簡單得多。

但是關於洛必達法則使用的限制看起來有些麻煩，其實我們只需要牢記兩點即可。第一點是不管x趨向於什麼值，只要保證分子分母同時趨向於0或者是無窮，並且導數存在，且分母的導數不為0即可。也就是說如果分子分母的極限不同時為0或者無窮大，則不能使用洛必達法則。這一點一定要牢記，因為在我們多次使用洛必達法則的過程當中，很有可能出現分子分母不在滿足這個條件的情況，我們在使用的時候一定要銘記。

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參考資料

維基百科

高等數學（上海交大出版社）

程式設計師的數學