一、什麼是堆？

維基百科的解釋是：堆是一種特別的樹狀資料結構，它需要滿足任意的子節點必須都大於等於（最大堆）或者小於等於（最小堆）其父節點。

二、堆排序

堆排序是通過二叉堆資料結構實現，二叉堆滿足一下兩個特性：

1、滿足對的基本特性

2、完全二叉樹，除了最底層外，其它層都已填充滿，且是從左到右填充。

二叉堆的高度即為根節點到葉子節點的最長簡單路徑長度，即為θ(lgn)。

二叉堆上的操作時間複雜度為O(lgn)。

1、二叉堆中的元素個數

根據二叉堆的特性2，我們知道高度為h的二叉堆重元素個數如下：

根節點為1

第一層為2=2¹

第二層為4=2²

...

第h-1層為2^h-1

第h層元素個數範圍為[1，2^h

最底層之外的元素個數和為1+2+2²+...+2^h-1=(1-2^h-1)/(1-2)=2^h-1

高度為h的二叉堆元素個數範圍：[2^h-1 + 1，2^h-1+2^h]=[2^h，2^h+1-1]

以高度為3的最大堆為例：

圖1

 圖2

2、二叉堆的高度

由二.1推導，我們知道高度為h的二叉堆的元素個數n滿足：

2^h ≦ n ≦ 2^h+1-1

=>

2^h ≦ 2^lgn ≦ 2^h+1-1

=>

h ≦ lgn < h+1

由此可得，含有n個元素的二叉堆的高度為θ(lgn)

3、使用陣列表示堆儲存

節點下標 i，則父節點下標為 i/2，左子節點下標為 2i，右子節點下標 2i + 1。

以圖1最大堆為例：

從根節點開始，根節點下標 1。

第一層節點下標：2、3

第二層節點下標：4、5、6、7

第三層節點下標：8

圖3

陣列形式：

 圖4

具體到特定的程式語言，陣列以0開始下標的，推導：

對於節點 i，則其父節點為 (i - 1)/2，左子節點下標為 2i + 1，右子節點下標 2i + 2。

4、堆的葉子節點

對於有n個元素的二叉堆，最後一個元素的下標為為n，根據二叉堆的性質，其父節點下標為n/2，因為每一層是由左向右進行構建，所以其父節點也是倒數第二層的最後一個節點，所以，其後的節點都為最底層節點，為葉子節點，下標為n/2 + 1、n/2 + 2... n。

具體到特定的程式語言，陣列以0開始下標的，推到：

葉子節點下標為(n-1)/2 + 1、(n-1)/2 + 2... n。

5、堆維護

所謂堆維護，即保持堆的基本特性，以最大堆為例：給定某個節點，維護使得以其為根節點的子堆為滿足子節點都小於等於父節點。

如下，給定堆構建陣列，及特定元素下標i：

public static void maxHeapify(int[] arr, int i) {
        int size = arr.length; //堆大小
        int maxIndex = i; //記錄當前節點及其子節點的最大值節點索引
        int left = 2 * i + 1; //左子節點索引
        int right = 2 * i + 2; //右子節點索引

        //對比節點及其左子節點
        if (left < size && arr[left] > arr[maxIndex]) {
            maxIndex = left;
        }

        //對比節點及其右子節點
        if (right < size && arr[right] > arr[maxIndex]) {
            maxIndex = right;
        }

        //不滿足最大堆性質，則進行下沉節點i，遞迴處理
        if (maxIndex != i) {
            int tmp = arr[i];
            arr[i] = arr[maxIndex];
            arr[maxIndex] = tmp;
            maxHeapify(arr, maxIndex);
        }
    }

如下圖，堆中元素9的維護過程：

 圖5

堆維護過程的時間複雜度：O(lgn)。

6、構建堆

根據二.4我們可以得到所有葉子節點的下標。我們可以使用二.5中的堆維護過程，對所堆中所有的非葉子節點執行堆維護操作進行堆的構建。

public static void buildHeap(int[] arr) {
        for (int i = (arr.length - 1) / 2; i >= 0; i--) {
            maxHeapify(arr, i);
        }
    }

以陣列 {27,17,3,16,13,10,1,5,7,12,4,8,9,0} 為例進行堆構建，結果為：{27,17,10,16,13,9,1,5,7,12,4,8,3,0}

圖6

構建最大堆的時間複雜度為O(n)。

7、堆排序

首先執行最大堆構建，當前堆中最大值會上升到根節點，也就是堆陣列的首節點。

我們可以通過交換首尾節點，使得最大值轉移至尾部，然後對除尾部元素外的堆陣列執行根元素堆維護，上浮堆最大值。

然後，將最大值交換至陣列尾部倒數第二個元素位置，重新執行剩餘堆陣列的根元素堆維護，依次類推，直至剩餘堆陣列大小變為2為止。

以二.6中陣列為例：{27,17,3,16,13,10,1,5,7,12,4,8,9,0}

第一次執行：

{27,17,10,16,13,9,1,5,7,12,4,8,3,0}，max：27

第二次執行：

{17,16,10,7,13,9,1,5,0,12,4,8,3}，max：17

第三詞執行：

{16,13,10,7,12,9,1,5,0,3,4,8}，max：16

第四次執行：

{13,12,10,7,8,9,1,5,0,3,4}，max：13

第五次執行：

{12,8,10,7,4,9,1,5,0,3}，max：12

第六次執行：

{10,8,9,7,4,3,1,5,0}，max：10

第七次執行：

{9,8,3,7,4,0,1,5}，max：9

第八次執行：

{8,7,3,5,4,0,1}，max：8

第九次執行：

{7,5,3,1,4,0}，max：7

第十次執行：

{5,4,3,1,0}，max：5

第十一次執行：

{4,1,3,0}，max：4

第十二次執行：

{3,1,0}，max：3

第十三次執行：

{1,0}，max：1

堆排序時間複雜度：O(nlgn)

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