斐波那契查詢不再迷惑
裴波那契查詢的來源
裴波那契數列是一串按照F(0)=1，F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）這一條件遞增的一串數字：
1、1、2、3、5、8、13、21 ... ...兩個相鄰項的比值會逐漸逼近0.618 —— 黃金分割比值。這個非常神奇的數列在物理，化學等各大領域上有相當的作用， 於是大家想： 能不能把它用在查詢演算法上嘞？？
於是就有了裴波那契查詢演算法，
裴波那契數列最重要的一個性質是每個數都等於前兩個數之和（從第三個數字開始）。
也就是一個長度為f(n)的陣列，它能被分成f(n-1)和f(n-2)這兩半，
而f(n-1)又能被分為f(n-2)和f(n-3)這兩半。。。直到分到1和1為止（f(1)和f(2)）。
（注意一個細節： 在分割時，可以選擇將“大塊”的f(n-1)放前面部分，也可以將“小塊”的f(n-2)放前面，我下面的分割都是按照“大塊”在前進行的）
這裡我們發現，二分查詢， 插值查詢和裴波那契查詢的基礎其實都是：對陣列進行分割， 只是各自的標準不同： 二分是從陣列的一半分， 插值是按預測的位置分， 而裴波那契是按它數列的數值分。
三個陣列以及它們之間的關係。
瞭解裴波那契查詢的演算法實現， 最重要的是理解“三個陣列”之間的關係，它們分別是：
- 待查詢陣列 (a)
- 裴波那契陣列(fiboArray)
- 填充後陣列(filledArray)
裴波那契陣列
要按裴波那契數分割， 我們當然要建立一個容納有裴波那契數的陣列，那麼，怎麼確定這個陣列的長度呢？ 或者說， 怎麼確定數組裡裴波那契數的最大值呢？（最後一個值）
答：只要剛好能滿足我們的需要就可以了，裴波那契陣列的長度，取的是大於等於待查詢陣列長度的最小值。原陣列長4則取5，長6則取8，長13取13（1、1、2、3、5、8、13、21 ）
填充陣列
其次我們要考慮的是： 我們的陣列長度不可能總是滿足裴波那契數的， 例如5、8、13、21等是裴波那契數， 但我們的陣列長度可能是6,7,10這些非裴波那契數， 那這時候怎麼辦呢？ 總不能對長度為10的待查詢陣列按照8和13進行第一次分割吧， 所以我們應該按照上面選定的裴波那契陣列的最大值， 建立一個等於該長度的填充陣列， 將待查詢陣列的元素依次拷貝到填充陣列中， 剩下的部分用原待查詢陣列的最大值填滿。
我們進行查詢操作的並不是原待排序陣列， 而是對應的填充陣列！
查詢到填充的部分元素如何處理？
當我們在填充陣列中查詢成功後，該元素可能來源於在原陣列的基礎上填充的部分元素（上圖黃色9）， 返回的下標(10,11,12)顯然是不準確的，而應該返回原陣列的最後一個元素的下標(9) 。
所以，解決方法就是： 在填充陣列中查詢成功後， 判斷返回的元素下標和原陣列長度的關係，如果：返回下標 > 原陣列長度 - 1, 那麼改為返回原陣列最後一個元素下標就OK了。
查詢過程
OK，有了上面的基礎我們總結下查詢的過程：
- 根據待查詢陣列長度確定裴波那契陣列的長度（或最大元素值）
- 根據1中長度建立該長度的裴波那契陣列，再通過F(0)=1，F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)生成裴波那契數列為陣列賦值
- 以2中的裴波那契陣列的最大值為長度建立填充陣列，將原待排序陣列元素拷貝到填充陣列中來， 如果有剩餘的未賦值元素， 用原待排序陣列的最後一個元素值填充
- 針對填充陣列進行關鍵字查詢， 查詢成功後記得判斷該元素是否來源於後來填充的那部分元素
具體程式碼
package find;
import java.util.Scanner;
public class FibonacciSearch {
public static void main(String[] args) {
int[] a={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9};
System.out.println("請輸入想要查詢的數值：");
Scanner sc=new Scanner(System.in);
int key=sc.nextInt();
int s=search(a,key);
if(s==-1){
System.out.println("沒有這個資料");
}else{
System.out.println("查到資料下標為"+s);
System.out.println("查到資料為第"+(s+1)+"個數");
}
}
/**
* @param a: 待查詢的陣列
* @description: 建立最大值剛好>=待查詢陣列長度的裴波納契陣列
*/
private static int[] makeFiboArray(int[] a) {
int N = a.length;
int first = 1, sec = 1, third = 2, fbLength = 2;
int higt = a[N - 1];
while (third < N) { // 使得裴波那契數不斷遞增，直到值剛好大於等於原陣列長度為止
third = first + sec; // 根據f(n) = f(n-1)+ f(n-2)計算
first = sec;
sec = third;
fbLength++;// 計算最後得到的裴波那契陣列的長度
}
int[] fb = new int[fbLength]; // 根據上面計算的長度建立一個空陣列
fb[0] = 1; // 第一和一二個數是迭代計算裴波那契數的基礎
fb[1] = 1;
for (int i = 2; i < fbLength; i++) {
fb[i] = fb[i - 1] + fb[i - 2]; // 將計算出的裴波那契數依次放入上面的空陣列中
}
return fb;
}
/**
* @description: 裴波那契查詢
*/
public static int search(int[] a, int key) {
int low, high;
int lastA;
int[] fiboArray = makeFiboArray(a);//// 建立最大值剛好>=待查詢陣列長度的裴波納契陣列
int filledLength = fiboArray[fiboArray.length - 1];//建立填充陣列長度
int[] filledArray = new int[filledLength];// 建立長度等於裴波那契陣列最大值的填充陣列
for (int i = 0; i < a.length; i++) {
filledArray[i] = a[i];// 將原待排序陣列的元素都放入填充陣列中
}
lastA = a[a.length - 1];//// 原待排序陣列的最後一個值
for (int i = a.length; i < filledLength; i++) {
filledArray[i] = lastA;//// 如果填充陣列還有空的元素，用原陣列最後一個元素值填滿
}
low = 0;
high = a.length; // 取得原待排序陣列的長度 （注意是原陣列！）
int mid;
int k = fiboArray.length - 1;
while (low <= high) {
mid = low + fiboArray[k - 1] - 1;
if (key < filledArray[mid]) {
high = mid - 1;//排除右半邊的元素
k = k - 1;//f(k-1)是左半邊的長度
} else if (key > filledArray[mid]) {
low = mid - 1;//排除左半邊的元素
k = k - 2;//f(k-2)是右半邊的長度
} else {
if (mid > high) {//說明取得了填充陣列末尾的重複元素了
return high;
} else {
return mid;//說明沒有取到填充陣列末尾的重複元素
}
}
}
return -1;
}
}
點選這裡在線執行程式碼
斐波那契查詢的軌跡
不依賴陣列的斐波那契查詢
我百度“斐波那契查詢”的時候， 一大部分基於陣列實現的程式碼都是建立了一個長度固定為20的斐波那契陣列。
而第20個斐波那契數是6765，所以這樣的程式碼只能處理長度小於等於6765的陣列。
於是就有了另一種編寫斐波那契陣列的方法： 不依賴陣列的編碼方法
請點這裡：
不依賴陣列的斐波那契查詢
說一下這種方法和我上面介紹的方法的不同點
- 我上面介紹的版本： 先把斐波那契數算出來，再全部用陣列存起來， 要用的時候直接從數組裡拿就可以了
- 這個版本： 不用陣列存， 只算出來需要的最大的斐波那契數， 要用的時候“臨時”計算就可以了
二分，插值和裴波納契查詢的效能比較
二分查詢：
二分查詢的軌跡可以用一顆判定樹來表示，例如：將下面的[20,30,40,50,80,90,100]表示為一顆判定樹， 因為一開始查詢的是位於整個陣列1/2 位置的元素50， 所以將50置於根元素位置， 接下來查詢的是30或90，所以放到50的子節點的位置。
結合一個結論：具有n個節點的判定樹的深度為logn2 + 1, 所以二分查詢時候比較次數最多為logn2 + 1,
插值查詢
上面也說過了，插值查詢只適用於關鍵字均勻分佈的表，在這種情況下， 它的平均效能比二分查詢好，在關鍵字不是均勻分佈時， 它的效能表現就不足人意了。
斐波那契查詢
斐波那契查詢的平均效能比二分查詢好， 但最壞情況下的效能（雖然仍然是O(logn)）卻比二分查詢差，它還有一個優點就是分割時候只需進行加減運算（二分和插值都有乘/