[TOC] 部落格：[部落格園](https://www.cnblogs.com/shine-lee/) | [CSDN](https://blog.csdn.net/blogshinelee) | [blog](https://blog.shinelee.me/) # 寫在前面 在數值計算中，為了控制精度以及避免越界，需要嚴格控制數值的範圍，有時需要知道二進位制表示中"left-most 1"或"right-most 1”的位置，這篇文章就來介紹一下通過**德布魯因序列（De Bruijn sequence）**來快速定位的方法。 # 標記left-most 1與right-most 1 對於一個二進位制數$v$，如何僅保留最低位或最高位的1? 最低位的1，即right-most 1，其特點是這一位右側均為0，可通過`v & -v`或者`v & ((~v)+1)`來標記最低位的1。 比如`0101 1010`，取反後為`1010 0101`，再加1為`1010 0110`，與後為`0000 0010`。 最高位的1，即left-most 1，其特點是這一位左側均為0，可通過下面來標記最高位的1。 ```cpp uint32_t keepHighestBit( uint32_t n ) { n |= (n >> 1); n |= (n >> 2); n |= (n >> 4); n |= (n >> 8); n |= (n >> 16); return n - (n >> 1); } ``` 前5行移位將最高位1右側的所有位均置為1，`n-(n >> 1)`再將他們清0。 至此，我們已經得到了一個二進位制的“one hot”表示，只有1位為1，它標記了最高位或最低位1的位置。 # 確定位置 假設，得到的“one hot”表示為`0000 0100 0000 0000`，如何確定1在哪一位呢？ 比較直接的想法是通過移位計數，不斷右移，並計數，直到最低位為1。 有沒有更好的方法？ 令得到的“one hot”表示為`h`，對於`uint32`，`h`只有32種，我們希望找到的這32種one hot表示與$0\sim 31$的對映關係，即$f(h) \rightarrow 0\sim 31$。 - **查表**：以`h`對應的`uint32`數為下標，構建陣列，通過查表方式得到，但`h`最大為$2^{31}$，直接構建陣列不現實 - **雜湊**：再增加一層對映，$f(g(h)) \rightarrow 0\sim 31$，即找到一個hash函式$g$，先將$h$對映到$0 \sim 31$，再通過查表$0\sim 31 \rightarrow 0\sim 31$，但一般雜湊會涉及到取餘操作，還要考慮不要有碰撞 對這個特殊問題，可以使用 德布魯因序列——可視為一種特殊的雜湊，不需要取餘，且絕不會發生碰撞。 # 德布魯因序列（De Bruijn sequence） 先看一個德布魯因序列的例子，令字符集$A = \{0, 1\}$，字元有$k=2$種，子串長度$n=2$，則所有可能的子串有$\{00, 01, 10, 11\}$，則迴圈序列$0011$是一個德布魯因序列，$0011$的所有連續子串恰好為$\{00, 01, 10, 11\}$，都出現且只出現一次，同樣，迴圈序列$1001$也是一個德布魯因序列。  可見，**德布魯因序列並不唯一，且是個迴圈序列，長度恰好為$k^n$，與所有可能子串的數量相同**。 wiki上的定義如下， > In [combinatorial](https://wiki2.org/en/Combinatorics) [mathematics](https://wiki2.org/en/Mathematics), a **de Bruijn sequence** of order $n$ on a size-$k$ [alphabet](https://wiki2.org/en/Alphabet_(computer_science)) *A* is a [cyclic sequence](https://wiki2.org/en/Cyclic_sequence) in which every possible length-$n$ [string](https://wiki2.org/en/String_(computer_science)#Formal_theory) on $A$ occurs exactly once as a [substring](https://wiki2.org/en/Substring) (i.e., as a *contiguous* [subsequence](https://wiki2.org/en/Subsequence)). Such a sequence is denoted by $B(k, n)$ and has length $k^n$, which is also the number of distinct strings of length $n$ on $A$. > > ——from wiki [De Bruijn sequence](https://wiki2.org/en/De_Bruijn_sequence) 再舉一個$B(2, 4)$的例子，序列長度為$2^4=16$，如下 $$ 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 $$ 其所有迴圈子串如下， .png) 每個位置的子串均不相同，所有子串對應著$0\sim 2^n-1$範圍的整數，恰好形成了$2^n$個位置與$2^n$個數的對映。 # 德布魯因序列的使用 將`h`與德布魯因序列相乘，相當於左移操作，把某位置的子串移到了最左端，再將該子串右移至最右，即僅保留該子串，可知道該子串是什麼，因為序列中每個子串的位置都是唯一的，根據對映關係可知道該子串的位置，相當於知道了`h`。為此需要建立 子串與位置 對應關係的檢索表。 ```cpp unsigned int v; int r; static const int MultiplyDeBruijnBitPosition[32] = { 0, 1, 28, 2, 29, 14, 24, 3, 30, 22, 20, 15, 25, 17, 4, 8, 31, 27, 13, 23, 21, 19, 16, 7, 26, 12, 18, 6, 11, 5, 10, 9 }; r = MultiplyDeBruijnBitPosition[((uint32_t)((v & -v) * 0x077CB531U)) >> 27]; // The index of the LSB in v is stored in r //return the index of the most significant bit set from a 32 bit unsigned integer uint8_t highestBitIndex( uint32_t b ) { static const uint32_t deBruijnMagic = 0x06EB14F9; static const uint8_t deBruijnTable[32] = { 0, 1, 16, 2, 29, 17, 3, 22, 30, 20, 18, 11, 13, 4, 7, 23, 31, 15, 28, 21, 19, 10, 12, 6, 14, 27, 9, 5, 26, 8, 25, 24, }; return deBruijnTable[(keepHighestBit(b) * deBruijnMagic) >> 27]; } ``` 因為德布魯因序列是迴圈序列，而左移操作會自動在最低位填0，所以習慣將全0子串放在序列的最高位，這樣比較方便，不需要特殊處理。 # 德布魯因序列的生成與索引表的構建 德布魯因序列可以通過構建德布魯因圖得到，圖中每條**哈密頓路徑（Hamiltonian path）**都對應一個德布魯因序列，  數量共有 $$ \frac{(k !)^{k^{n-1}}}{k^{n}} $$ 具體生成方式和證明可檢視[De Bruijn sequence](https://wiki2.org/en/De_Bruijn_sequence)和[神奇的德布魯因序列](https://halfrost.com/go_s2_de_bruijn/)。 儲存子串與位置對映關係的檢索表可通過如下方式生成，其中`debruijn32`為德布魯因序列對應的`uint32`正整數。 ```cpp uint8 index32[32] = {0}; void setup( void ) { int i; for(i=0; i<32; i++) index32[ (debruijn32 << i) >> 27 ] = i; } ``` # 參考 - [De Bruijn sequence](https://wiki2.org/en/De_Bruijn_sequence) - [神奇的德布魯因序列](https://halfrost.com/go_s2_de_bruijn/) - [De Bruijn Sequences for Fun and Profit](https://www.slideshare.net/alekbr/de-bruijn-sequences-for-fun-and-profit) - [Bit mathematics cookbook](https://bisqwit.iki.fi/story/howto/b