Tarjan求LCA
阿新 • • 發佈：2020-07-31
### 前言：
沒想到吧，$tarjan$不僅可以用來求割點和橋，縮點，還能求$LCA$。不過，**$tarjan$求$LCA$是離線的**，要線上演算法的話還是學倍增吧。
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### 正題:
這次的$tarjan$不需要回溯值和$dfs$序，本質的來說，其實$tarjan$求$LCA$跟割點和橋，縮點沒有任何關係~~一個人發明的算不算~~。
**前置知識：[並查集](https://www.cnblogs.com/bzzs/p/13095399.html)**
當然，$tarjan$的其他兩個演算法跟$dfs$有關，求$LCA$也不例外，我們是在$dfs$的基礎上，一步一步求出來的。
步驟如下：
1. 對這課樹進行$dfs$，從根開始
2. 對於每個節點，我們不先標記這個點走過，回溯的時候才標記
3. 對於每個節點，遍歷與之相鄰且未走過的點，並把這些點的父親標記為當前節點，相當於合併這些點
4. 對於每個節點，當與之相鄰的點遍歷完後，查詢在求LCA問題中與自己相關的問題，看它問題中的另外一個點有沒有被查詢到，有的話就把這兩個點的答案賦值為另外一個點的父親（當然是合併後的父親）
第三步的是否走過時指遍歷到了沒有，不是標記。對於合併，合併後查詢父親，我們就用並查集來完成。
這樣自然是不好理解的，來看個例子（以下的$find$函式就是普通並查集的$find$）：
這是我們的圖，現在假設我們要求$3$和$4$，$2$和$6$的$LCA$。
先進行第一步，此時我們先是從$1$開始搜，先到的地方是$3$，然後看與$3$相關的節點$4$,$4$沒有被搜到，我們就退出，並標記$3$，把他的父親標記為$2$，合併掉$3$。
此時，$2$的兒子沒遍歷完開始遍歷$4$，與$4$相關的節點$3$,是搜過的，此時$LCA$$3$,$4$就是$find$（$3$）也就是$2$（注意不能$find$（$4$），而是$find$與之相關的另外一個節點）。然後合併$4$，把$4$的父親標記為$2$。
這時應該遍歷$2$了，發現與之相關的$6$未找到，於是把$2$的父親標記為$1$，自然，此時$3$,$4$的父親也為$1$了。
後面的就以此類推了。這一步應該判斷$6$，求出$LCA2$,$6$為$1$，合併$6$，標記父親。
把$5$合併，父親為$1$。
到$1$了後就沒有了，演算法完結。
接下來講講實現。
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### 例題：
[洛谷 P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）](https://www.luogu.com.cn/problem/P3379)
這就是模板了吧，我把程式碼貼一貼，理解一下（特別短！！！而且這道題對於倍增和$RMQ$都需要卡卡常，而$tarjan$我用$vector$建圖不加快讀快寫就能過，當然得把註釋刪掉，不然會$T$）。
程式碼：
```cpp
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