線段樹和樹狀陣列學習筆記
阿新 • • 發佈：2020-08-02
學習了一週的線段樹和樹狀陣列，深深地體會到了這每種操作幾乎都是 $O(logN)$ 級別的資料結構的美，但是做起題來還是相當痛苦的（特別是一開始只會模板的時候，很難靈活運用線段樹的性質）。還好有雨巨大神帶入門，視訊講解十分直觀（b站上也有很多介紹線段樹的視訊），不用像以前一樣看各種部落格題解入門。但是我現在就是在寫部落格了，希望能儘可能將我目前理解的知識整理出來，畢竟能讓別人看懂（網上已經這麼多關於線段樹和樹狀陣列的文章你還能找到我，相信我，你沒選錯），才說明自己也是真的懂了(~~雖然我還有好多不懂~~ $QAQ$)。全文篇幅較長，細心理解一定會有收穫的♪(\^∇\^\*)。
##線段樹
###一些概念
線段樹是一種二叉搜尋樹，**每一個結點都是一個區間（也可以叫作線段，可以有單點的葉子結點）**，有一張比較形象的圖如下（侵刪）：
可以看出，線段樹除根結點外的其他節點，都由其父節點二分長度得到，這種優秀的性質使得我們可以把它近似看成是一棵完全二叉樹。而完全二叉樹可以用一個數組表示：設根節點下標為 $now$ （在程式碼中我習慣用 $now$ 表示當前節點， $ls(now)$ 表示左孩子結點， $rs(now)$ 表示右孩子結點），則:
$$ls(now) = now*2,rs(now) = now*2+1$$
這樣就可以快速得到孩子的下標，根節點的下標為1，從上到下，從左往右編號既可將一顆線段樹存入小巧的數組裡了，不用煩人的指標。一般我會把左孩子和右孩子寫到巨集定義去，讓程式碼更簡潔，並且使用位運算，即:
$$ls(now) = now<<1,rs(now) = now<<1|1$$
這是等效的寫法，同時我們要獲得中間值，來二分 $now$ 結點，同樣我用了巨集定義:
$$mid = (l+r)/2$$
$l$ 和 $r$ 是 $now$ 的左右邊界，即它所能管理（覆蓋）的範圍，明確這一點非常重要。線段樹有很多種寫法，我看的很多程式碼都是把 $l$ 和 $r$ 寫線上段樹節點的結構體裡面，我習慣是用傳引數的方法（因為帶我入門的雨巨就是這樣寫的。其實兩種寫法都是可以的，看個人習慣，最後熟練一種即可，但是另一種也要看得懂）。**左孩子的左邊界還是** $l$ , **右邊界變成了** $mid$ ；**右孩子的左邊界變成** $mid+1$ ,**右邊界是** $r$ 。這樣就可以遞迴建樹了。
這個線段樹陣列的大小也是要注意（經常 $RE$ 的地方），要**開4倍的陣列**，就是說一個長度為10的區間，得開到40的陣列。一般題目資料的範圍都是在 $10^5$ 的量級。有時資料範圍過大，還可以用離散化解決它，這在後面的部落格中會講到。
###能解決什麼問題
線段樹能解決超多有關區間的問題，還有一些不這麼明顯的區間問題（廢話）。像什麼單點修改，單點查詢，區間修改，區間查詢都不在話下，應用範圍比樹狀陣列廣，變通性極強（**樹狀陣列能解決的問題線段樹都能解決，但是後者能解決的一些問題樹狀陣列還是搞不了的，但是樹狀陣列時空常數小，程式碼量少，還不容易寫錯**）。線段樹可以區間維護區間和、區間乘，區間根號，區間最大公因數，連續的串長度等、區間最值操作等。這裡我給出一個洛谷題單和一個牛客題單，我也是剛剛刷完了這些題，質量都很高。
* 題單一：[洛谷【資料結構2-2】線段樹與樹狀陣列](https://www.luogu.com.cn/training/206#problems)
* 題單二：[牛客演算法競賽入門課第九節(線段樹)習題](https://ac.nowcoder.com/acm/problem/collection/621)
我是先做牛客的再去做洛谷的，順序沒什麼。牛客題解比較少，需要自行百度理解（摘自牛客的一些比賽的比較多），洛谷質量就很高，題解豐富，做法也很多。可以先去做掉洛谷的四道模板題（線段樹兩道，樹狀陣列兩道，你還會發現線段樹其實有三道模板題，模板三理解起來比較困難，建議先刷完前面的題再去攻克，不然很可能會自閉（~~我坦白了，我已經自閉了~~））。寫完這篇總結後我會挑一些比較好的題再寫一篇部落格，算是題解總結吧。
###建樹、修改和查詢
題目一：[P3372 【模板】線段樹 1](https://www.luogu.com.cn/problem/P3373)
我們從模板題入手，題目中的兩個操作正是線段樹很經典的操作：區間修改和區間查詢。我們思考以下幾種做法：
① 如果讓我們暴力地修改區間每一個值，再暴力查詢區間的每一個值，修改和暴力都是 $O(n)$ ，加上 $m$ 次操作,總的時間複雜度就是 $O(nm)$ 的，必定 $TLE$ 。
② 預處理字首和，進行離線操作。每次修改為 $O(n)$ ，查詢為 $O(1)$ ，時間複雜度依舊是 $O(nm)$ ，還是會 $TLE$ 。
③ 以上操作的瓶頸都每次操作時間複雜度都是 $O(n)$ ，這時我們想起了每次操作都是 $O(logn)$ 線段樹, 總的時間複雜度就是 $O(mlogn)$ , $AC$ 了。
開始介紹之前，先交代一下線段樹結構體：
```cpp
const int maxn = 1e5+5;
struct node{
ll sum,lazy; //sum為區間和，lazy為懶標記
}t[maxn<<2]; //開四倍空間
```
區間和就不用說了，重點講一下線段樹 $O(logn)$ 操作的關鍵：**懶標記** $lazy$ 。懶標記就是懶，將對區間操作的命令不立刻執行，而是到萬不得已的時候才執行下去，否則就繼續“偷懶”，將命令繼續壓在自己手上，不往自己孩子傳。什麼時候可以不往孩子節點傳下去（即偷懶）呢？**如果此時要修改的區間範圍已經囊括了當前節點能管理的範圍，那我就把這個命令直接在當前節點消化掉，不必再通知孩子也要執行這個命令了**。
舉個栗子，比如我命令 $[1,10]$ 區間全部給我加 $10$ ，到 $[1,10]$ 這個節點的時候，$[1,10]$ 正好包含住我管理的區間，那我直接給它的懶標記加上 $10$ ，給區間和加上 $100$ ,美滋滋地結束了任務，孩子們甚至不用知道這件事。下次如果要查詢 $[1,10]$ 的區間和的話，我直接在 $[1,10]$ 這個節點返回就好了，因為它已經修改正確了。但是很多時候命令的區間是多個節點的並集區間。如果接下來我要 $[4,7]$ 這個區間加 $5$ ，這個區間是 $[4,5]$ 和 $[6,7]$ 這兩個節點的並，你可能會說這不就是在這兩個節點打上標記就完事了嗎？可事實上你之前在 $[1,10]$ 打上了懶標記，這個會影響 $[4,5]$ 和 $[6,7]$ 的區間和，而它的影響因為上次偷懶還沒傳下去呢，實際上 $[4,5]$ 和 $[6,7]$ 的懶標記應該打上 $15$ 才對。那我們怎麼亡羊補牢呢？誒，這需要 $pushdown$ 函式幫忙啦，先賣個關子，先來講講怎麼建樹和修改。
#####建樹build
先給出程式碼，四行建樹。
```cpp
void build(int now,int l,int r){
if(l == r) { cin>> t[now].sum ; return;}
build(ls,l,mid);
build(rs,mid+1,r);
t[now].sum = t[ls].sum + t[rs].sum;
}
```
$now$是當前節點的陣列下標，$l$ 和 $r$ 是它所管轄的範圍，如果 $l$ 和 $r$ 相等，說明到了葉子節點，也就是單點的情況，這時就直接讀入資料好了，只有一個元素，區間和肯定就是它本身了，**注意之後要返回，因為它不可再細分了**；否則，將管轄範圍一刀兩半，利用類似完全二叉樹的性質，遞迴建立左子樹 $ls$ 和右子樹 $rs$,這是我的巨集定義（你可以修改各個變數名，很多人習慣用 $p$ 代表當前節點，我比較直接就用 $now$ 了）：
```cpp
#define ls now<<1
#define rs now<<1|1
#define mid (l+r)/2
```
建樹程式碼最後一行是關鍵，也是線段樹建樹的精髓，我們一般將這句話寫在一個函式 $pushup$ 裡面，與 $pushdown$ 正好對應。在這裡，它在遞迴返回時，左右子樹已經建好了，**要將它們的區間和資訊整合到根節點**，這裡直接累加即可，不必成單獨一個函式。但是當要維護的資訊量很多時，因為這個 $pushup$ 後面還會呼叫，我們會將它單獨寫成一個函式以減少程式碼量，降低維護成本。
這裡的 $pushup$ 程式碼可以寫成：
```cpp
void pushup(int now){
t[now].sum = t[ls].sum + t[rs].sum;
}
```
建樹完畢，總結一下：
1.先寫遞迴返回條件 $l == r$ 。
2.遞迴左右子樹 。
3.合併兩子樹 $pushup$ 。
#####修改update
同樣先給出程式碼：
```cpp
void update(int now, int l, int r, int x, int y, int value){
if(x <= l && r <= y) {
t[now].lazy += value;
t[now].sum += (r - l + 1) * value;
return;
}
if(t[now].lazy) pushdown(now,r-l+1);
//懶標記下傳，與本次修改的資訊無關，只是清算之前修改積壓的懶標記
if(mid >
using namespace std;
#define For(i,sta,en) for(int i = sta;i <= en;i++)
#define speedUp_cin_cout ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0); cout.tie(0);
#define ls now<<1
#define rs now<<1|1
#define mid (l+r)/2
typedef long long ll;
const int maxn = 1e5+5;
int n,m;
struct node{
ll sum,lazy; //sum為區間和，lazy為懶標記
}t[maxn<<2];
void pushup(int now){
t[now].sum = t[ls].sum + t[rs].sum;
}
void build(int now,int l,int r){
if(l == r) { cin>> t[now].sum ; return;}
build(ls,l,mid);
build(rs,mid+1,r);
pushup(now);
}
void pushdown(int now,int tot){
t[ls].lazy += t[now].lazy; //懶標記給左孩子
t[rs].lazy += t[now].lazy; //懶標記給右孩子
t[ls].sum += (tot - tot/2) * t[now].lazy; //區間和加上懶標記的影響，注意範圍
t[rs].sum += (tot/2) * t[now].lazy;
t[now].lazy = 0; //記得懶標記下傳後清0
}
void update(int now, int l, int r, int x, int y, int value){
if(x <= l && r <= y) {t[now].lazy += value; t[now].sum += (r - l + 1) * value;return;}
if(t[now].lazy) pushdown(now,r-l+1); //懶標記下傳，與本次修改的資訊無關，只是清算之前修改積壓的懶標記
if(mid >
using namespace std;
#define For(i,sta,en) for(int i = sta;i <= en;i++)
#define speedUp_cin_cout ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0); cout.tie(0);
#define lowbit(x) x&(-x)
typedef long long ll;
const int maxn = 5e5+5;
int t[maxn],n,m,num;
void update(int now,int value){
while(now<=n){
t[now]+=value;
now += lowbit(now);
}
}
ll query(int now){
ll ans = 0; //long long 型別的答案
while(now){
ans += t[now];
now -= lowbit(now);
}return ans;
}
int main(){
speedUp_cin_cout
cin>>n>>m;
For(i,1,n) {
cin>>num;
update(i,num);
}int op,x,y;
For(i,1,m){
cin>>op>>x>>y;
if(op == 1) update(x,y);
else cout<