對位運算與邏輯電路統一性的淺顯理解
前言
（題目我大概是隨便編的，感覺叫這個比較能概括我總結的主題）
在學OI的過程中，我一開始完全不懂位運算，後來經過一些題目的記憶，也是能夠記下來算術運算子它們的效果和作用，但是總是忘記每個運算子具體的效果，比如或運算與運算之類。
今天無意間翻開物理書，看到邏輯電路那一節，裡面的與，或不就是算術位運算的效果嗎？我突然感到自己是個弱智，先前都是在死記硬背(數學課講邏輯的時候也有與和或，當時沒有聯想到按位運算，只是想到了對於條件且(&&)和條件(||)的類比)
（我死記硬背的方法——在便箋裡放著小口訣）
於是我打算改變我憨批一般的死記硬背，從更基本的邏輯電路出發來記憶和理解各個位運算的效果。
將數學語言上的邏輯，計算機上的邏輯(程式語言)，電路上的邏輯(其實也是計算機底層的邏輯吧)統一起來，讓自己更清晰。
而眾所周知，計算機位運算中有 “與” “或”“非”“異或”四種算術位運算，下面將分別分析和統一它們。
##事先備註，下文的表述中在數學上只是邏輯語言，用於一種描述或進行推論；而表現在計算機中，這些邏輯運用都是二進位制下按位運算，也就是對二進位制數的每一位都進行這樣的邏輯運算；物理上就是邏輯閘的關係，(當然還存在“與非”“或非”等等，本文只講述與c++位運算有關內容,這些並無直接對應，但可以通過組合實現)。它們只是在邏輯上統一，具有相同的邏輯關係，並非含義等同。
基本介紹
-
與 :
符號:
數學： ∧ （這個不是^（次方或者異或符號）,是邏輯與）
計算機(c++)（其實是按位與) : and & （整條語句為“&&”）
具體描述 :
都為真才為真 ，或者說 輸入都為1(true) 才輸出 1(true) ，再或者說 條件都為1(true) 結論才為1(true)。
對於c++來說，使用第二條來記錄比較具象(就是我便箋上寫的)。
物理上的邏輯(開關串聯):
我們規定開關關閉(斷路)則表示條件(邏輯再者說輸入)為0(假)，開關開啟(通路)則表示條件(邏輯再者說輸入)為1(真)，
兩者都為1的時候，兩者都為0(0&0)，燈泡的狀態為不亮，即表現為0(假)；同時，開關一開一關(0&1)，
顯然燈泡也不會亮，即表現為0(假);只有二者均為1(1&1)的時候，燈泡才會亮，即表現為1(真)；
運算表示式：
數學(其實數學這裡“與”其實是“邏輯且(邏輯與)”吧，對應在程式裡是&&而不是按位與的&，但它們在邏輯上是並通的):
如果條件p為假，條件q為假，那麼 p∧q=假;
如果條件 p為真，q為假或者p為假，q為真 ，那麼p∧q=假;
如果p，q都為真，那麼p∧q=真
抽象點(有定義，乘法為與，"＋"表邏輯或，條件加“ ' ”為非):
F=AB (AB都為1，F才為1)
計算機(二進位制按位運算):
0&0=0；1&0=0；0&1=0；1&1=1；
物理：這咋表達？這個只能用圖
邏輯上的統一就是：都為真才得到真（這不還是那句話？——但是我們多了個物理含義！是不是更好記了？）
-
或:
符號:
數學: ∨
計算機(c++): or | （對於整條語句來說是“||”）
具體描述：
只要有一個為真就是真，都為假時才是假；或者說輸入有一個為1(true)就是1(true)，都為0(false)才是假；
再或者說，條件有一個為1(true)結論就為1(true),條件均為0(false)結論才為0(false)。
對於c++來說，仍然是第二條。
物理上的邏輯(開關並聯):
同樣的，開關通路(開)則表示1，斷路(關)則表示0。如圖
兩者都為1(開)的時候(1|1)，則為1，任意一者為1(1|0)的時候也為1，即這兩種情況燈是亮的；
而只有兩者都為0(0|0)的時候才為0，即燈是不亮的；
運算表示式：
數學(同邏輯與，數學的含義實際類似於“||”)：
如果條件p,q至少有一個為真，則p∨q=真。
如果條件都為假，則p∨q=假。
抽象點(有定義，乘法為與，"＋"表邏輯或，條件加“ ' ”為非):
F=A+B (AB只要有一個為1，F就不為0)
計算機(二進位制按位運算)：
1|1=1；0|1=1；1|0=1;0|0=0;
物理：並聯開關一個為開則幹路上的燈為亮，都關了才不亮。
邏輯上的統一就是:都為假才是假
-
非：
符號：
數學: ¬
計算機(c++): ~ (對於整條語句來說是“!”，不過在c++的條件語句裡，二者都可以作用於一個判斷語句的真假，但對數字按位取反要用~)
具體描述:
是真則為假，是假則為真。輸入為輸出相反。條件與結論相反。
c++同樣為第二條。
物理上的邏輯(開關串聯，與燈泡並聯):
同上，很顯然的就是，開關開啟(通路)時燈泡不亮(被短路了) (!1)，即為0，開關關閉(斷路)時燈泡亮(!0)，即為1。
運算表示式：
數學： 若p為真，則¬p為假
若p為假，則¬p為真
抽象點(有定義，乘法為與，"＋"表邏輯或，條件加“ ' ”為非):
F=A'
計算機(二進位制按位運算): 這個比較特殊，因為如果要按位非的話，也就是按位取反
由於計算機內一個數字變數型別的最高為(比如int的第32位)符號位，按位取反則對從32到1所有取反
所以說~1=-2，~0=-1。但是
!0=1 !1=0
實際上除了!0之外的所有數進行!操作，都是0
"!"只是逆轉真假罷了，一個數只有是0的時候才是假，所以只有0的時候進行"!"才是真，於是造成了這樣的結果。
物理:開開關燈就滅，關開關等就亮
統一的邏輯就是:是真則為假，是假則為真
-
異或：
符號：
數學: ⊕
計算機(c++): xor ^
具體描述:
相同則為假，相異則為真。輸入都為0或1則為假，輸入為一0一1則為真。條件都真或者都假結論就假，條件一真一假才為真。
c++同樣為第二條。
物理上的邏輯(不好用語言描述圖了，口胡一下:非電路和另一開關構造與電路，再交換開關複製成或電路):
圖一(嚴格按照數學表示式)：
，
令上下的並聯開關為k1，可以理解為同一個開關，二者操作同時，表達同時同等，k2理解為另一個開關，二者同時同等。
當k1開啟，k2關閉的時候(1^0)，上路的燈可以亮，當k2開啟，k1關閉的時候(0^1)，下路的燈可以亮。
當k1，k2都關閉(0^0)或者都開啟(1^1)的時候，兩個路的燈都不可以亮。
總的表示就是開關狀態相同則不亮，開關狀態不同則亮。
圖2(與非電路串或電路，並藉此分析異或的條件與結論的關係):
如圖。還是兩個k1同步,兩個k2同步。（下面的敘述較長，於是我以插入程式碼的形式壓縮了起來）
左邊這團電路是"與非電路"，與非電路即先與再非的電路，當"與"表達為假的時候總表達為真，反之為假。
右邊的或電路和燈是串的，所以邏輯就是單純的或。
如果只有左電路，開關都開啟燈一定不亮，燈不亮時開關一定都開啟(開關是通路,燈被短路)，二者互為充要條件。
放在整個電路中，雖然燈不亮時開關不一定都開啟，但開關都開啟時燈一定不亮(被短路)，
所以開關都開啟是燈不亮的充分不必要條件，燈不亮是開關都開啟的必要不充分條件。
如果只有右電路，開關都關閉燈一定不亮，燈不亮時開關一定都關閉(燈被斷路)，二者互為充要條件。
放在整個電路中，雖然燈不亮時開關不一定都關閉，但開關都關閉時燈一定不亮，
所以開關都關閉時燈不亮的充分不必要條件，燈不亮是開關都關閉的必要不充分條件。
以上分析可知，開關都開或者都閉的時候(0^0或者1^1)，燈一定不亮(0)。燈不亮的時候一定是開關都開或都關的時候。
也就是說，開關狀態一致和燈的不亮，互為充要條件,既然它們互為充要，如果畫成韋恩圖，二者等價。
到這裡可以用數學的邏輯推出來開關不一致對應的是燈亮：
很明顯開關狀態不一致是和開關狀態一致是相反的說法，沒有交集，所以說它對開關的不亮是既不充分也不必要條件。
因為開關如果分成一致(0)或不一致(1)只有0/1兩個狀態，燈泡的亮與不亮也只有兩個狀態，所以說燈亮的時候一定和開關狀態不一致時等價的。
也就是說開關狀態不一致的時候，燈一定是亮的。
具體來說，開關狀態不一致的時候，"與非電路"為真(1)，而或電路也為真(1)，二者又是與的關係，都為真(1) 則表達為真(1)，所以說燈泡就是亮的，為真(1)。
View Code
其實個人覺得兩個圖都比較好記，圖一的優點在於完全對應數學表達，圖二的優點在於不在乎k1，k2的交換，只要左右電路分別有對k1，k2就行。
運算表示式：
數學：條件p和條件q一真一假,則 p ⊕ q=真
條件p和條件q都為真或者都為假，則p ⊕ q =假
抽象點(有定義，乘法為與，"＋"表邏輯或，條件加“ ' ”為非):
F=AB'+A'B（完全對應圖1,圖二相當於 F=(AB)'(A+B),兩式結果相同）
計算機(c++):
0^0=0;1^1=0;0^1=1;1^0=1;
統一的邏輯就是：同則為0，異則為1。
後記
寫下來花了兩三個小時，儘管已經查閱資料儘量保證語言的嚴謹性，但總怕難免有我誤解的地方。
不過大的錯誤應該沒有，或許會有小地方術語說錯的，不過不影響物理圖數學公式和c++邏輯上的統一性。
寫完之後感覺自己受益良多，強化加深了自己在邏輯運算和位運算方面的理解，甚至包括一些c++語法上的理解。
同時我再也不會忘了這些算術運算子在c++的效果了。
到此結束!
希望看到的人也能有收穫，同時歡迎各位提出建議，批評指正。