資料結構與演算法：圖形結構

圖

圖形結構是一種比樹形結構更復雜的非線性結構。在樹形結構中，結點間具有分支層次關係，每一層上的結點只能和上一層中的至多一個結點相關，但可能和下一層的多個結點相關。而在圖形結構中，任意兩個結點之間都可能相關，即結點之間的鄰接關係可以是任意的。

因此，圖形結構被用於描述各種複雜的資料物件，在自然科學、社會科學和人文科學等許多領域有著非常廣泛的應用 。圖形結構在電腦科學、人工智慧、電子線路分析、最短路徑尋找、工程計劃、化學化合物分析統計力學、遺傳學、控制論語言學和社會科學等方面均有不同程度的應用可以這樣說，圖形結構在所有資料結構中應用最為廣泛。如在地鐵站中的線路圖：

圖的定義

圖是一種資料結構，其中節點可以具有零個或多個相鄰元素，兩個節點的連線稱之為邊，節點在圖形結構中也被稱為頂點，一個頂點到另一個頂點的經過的的線路稱為路徑。

圖形結構有3種類型：無向圖、有向圖、帶權圖

無向圖：頂點A與頂點B之間的邊是無方向的，可以從A到B，也可以從B到A

有向圖：頂點A與頂點B之間的邊是有方向的，可以從A到B，但不可以從B到A

帶權圖：頂點A與頂點B之間的邊是帶有屬性的，如A到B的 距離。

圖的表達方式

圖的表達方式有兩種：鄰接矩陣(使用二維陣列)和鄰接表(使用陣列+連結串列)

鄰接矩陣

鄰接矩陣是表示圖形中各頂點之間的關係，矩陣的行和列對應各頂點，座標位置上的值對於它們之間的關係，1為連線, 0為沒有連線。在程式中用二維陣列來實現。

鄰接表

鄰接表只關係存在的邊，不需要去為不存在的邊分配空間，因此比鄰接矩陣來說，避免了不必要的空間浪費。在程式中用陣列+連結串列的形式實現，陣列儲存對應的頂點，連結串列儲存該頂點連線的所有頂點。

圖的搜尋演算法

圖形結構基礎屬性和方法

以下的程式碼演示都是以鄰接矩陣表達方式來實現的

//圖形結構(鄰接矩陣)
class Graph {
     //儲存圖中所有頂點
    private List<String> vertexes;
    //圖形結構的鄰接矩陣
    private int[][] matrix;
    //各頂點訪問情況，true為已訪問，false為未訪問
    private boolean[] visited;

    /**
     * 根據傳入的頂點資訊生成矩陣
     * @param s
     */
    public Graph(String s[]) {
        vertexes = new ArrayList<>();
        for (String vertex : s){
            vertexes.add(vertex);
        }
        matrix = new int[s.length][s.length];
    }

    /**
     * 將倆個頂點連線，即生成邊
     * @param index1 頂點在集合中的索引
     * @param index2
     */
    public void connect(int index1, int index2){
        if (index1 < 0 || index1 > matrix.length || index2 < 0 || index2 > matrix.length){
            throw new RuntimeException("該頂點未存在");
        }
        //將新的鄰接新增的鄰接矩陣中
        matrix[index1][index2] = 1;
        matrix[index2][index1] = 1;
    }

    /**
     * 展示鄰接矩陣
     */
    public void showGraphMatrix(){
        for (int arr[] : matrix){
            System.out.println(Arrays.toString(arr));
        }
    }
    
    /**
     * 獲取頂點在鄰接矩陣對應行row中的第一個鄰接頂點下標
     * @param row
     * @return 當有鄰接頂點時返回鄰接頂點下標，沒有則返回-1
     */
    public int getFirstNeighbor(int row){
        for(int i =0; i<matrix.length; i++){
            if (matrix[row][i] != 0){
                return i;
            }
        }
        return -1;
    }

    /**
     * 獲取頂點在鄰接矩陣對於行row中col列的下一個鄰接頂點
     * @param row
     * @param col
     * @return 當有鄰接頂點時返回鄰接頂點下標，沒有則返回-1
     */
    public int getNeighbor(int row, int col){
        for (int i=col+1; i<matrix.length; i++){
            if (matrix[row][i] != 0){
                return i;
            }
        }
        return -1;
    }
}

深度優先搜尋

深度優先搜尋屬於圖演算法的一種，英文縮寫為DFS即Depth First Search.其過程簡要來說是對每一個可能的分支路徑深入到不能再深入為止，而且每個節點只能訪問一次。這樣的訪問策略是優先往縱向進行深入挖掘，而不是對一個頂點的所有鄰接頂點進行橫線訪問。簡單來說就是一條路走到死，不行再掉頭。

思路：從當前頂點選一個與之連線而未訪問過的頂點，將當前節點往該鄰接頂點移動，如果鄰接頂點沒有未訪問的，則回溯到上一個頂點位置，繼續該步驟。直到所有頂點都訪問過。

往鄰接但未訪問過的頂點移動

鄰接頂點沒有未訪問的，進行回溯，直到遇到未訪問的鄰接頂點

當所有頂點都被訪問過時，退出演算法

下面是深度優先搜尋的過程動畫

程式碼演示

public void dsf(){
    visited = new boolean[vertexes.size()];
    //以在集合中下標為0的頂點，進行深度搜索
    dsf(visited, 0);
}

/**
 * 深度優先搜尋
 * @param visited
 * @param row
 */
public void dsf(boolean[] visited, int row){
    //輸出當前頂點
    System.out.print(vertexes.get(row) + " -> ");
    //將當前頂點設為已訪問
    visited[row] = true;
    //獲取當前頂點的鄰接頂點下標
    int index = getFirstNeighbor(row);
    //如果當前頂點有鄰接頂點則進行深度搜索
    while (index != -1){
        //當鄰接頂點未訪問時，則遞迴遍歷
        if (visited[index] != true){
            dsf(visited, index);
        }
        //當鄰接頂點已訪問時，則尋找另一個鄰接頂點
        index = getNeighbor(row, index);
    }
}

寬度優先搜尋

寬度優先搜尋演算法（又稱廣度優先搜尋）是最簡便的圖的搜尋演算法之一，這一演算法也是很多重要的圖的演算法的原型。Dijkstra單源最短路徑演算法和Prim最小生成樹演算法都採用了和寬度優先搜尋類似的思想。其別名又叫BFS，屬於一種盲目搜尋法，目的是系統地展開並檢查圖中的所有節點，以找尋結果。換句話說，它並不考慮結果的可能位置，徹底地搜尋整張圖，直到找到結果為止。

寬度優先搜尋演算法類似於一個分層搜尋的過程，寬度優先搜尋演算法需要一個佇列以保持訪問過頂點的順序，以便按這個順序來訪問這些頂點的鄰接頂點。

思路：依次訪問當前頂點的鄰接頂點，並按訪問順序將這些鄰接頂點儲存在佇列中，噹噹前頂點的所有鄰接頂點都被訪問後，從佇列中彈出一個頂點，以該頂點為當前頂點繼續該步驟，直到所有頂點都被訪問過。

依次訪問當前頂點的所有鄰接頂點，並把這些鄰接頂點按訪問順序儲存在佇列中

當前頂點沒有未訪問的鄰接頂點，從佇列中彈出一個頂點，以該彈出頂點繼續訪問未訪問的鄰接頂點

注意，雖然圖中的頂點都已經訪問過了，但還是要等佇列中的所有頂點彈出訪問後，演算法才結束

下面時寬度優先搜尋的過程動畫

程式碼演示

public void bfs(){
    visited = new boolean[vertexes.size()];
    ////以在集合中下標為0的頂點，進行廣度優先搜尋
    bfs(visited, 0);
}

/**
 * 廣度優先搜尋
 * @param visited
 * @param row
 */
public void bfs(boolean[] visited, int row){
    //建立佇列，儲存遍歷鄰接頂點的順序
    LinkedList queue = new LinkedList();
    //輸出當前頂點
    System.out.print(vertexes.get(row) + " -> ");
    //將當前頂點設為已訪問
    visited[row] = true;
    //將當前頂點加入佇列中
    queue.add(row);
    //當佇列不為空時，即有未搜尋的鄰接頂點，進行搜尋
    while (!queue.isEmpty()){
        //按順序從佇列中彈出鄰接頂點下標
        int last = (Integer)queue.removeFirst();
        //獲取該彈出頂點的鄰接頂點下標
        int index = getFirstNeighbor(last);
        //當彈出頂點有鄰接頂點時，進行廣度搜索
        while(index != -1){
            //當鄰接頂點未訪問時
            if(visited[index] != true){
                //輸出該鄰接頂點
                System.out.print(vertexes.get(index) + " -> ");
                //把該鄰接頂點設為已訪問
                visited[index] = true;
                //將該鄰接頂點加入佇列
                queue.addLast(index);
            }
            //繼續尋找彈出頂點的另一個鄰接頂點
            index = getNeighbor(last, index);
        }
    }
}

完整演示程式碼

public class GraphDemo {
    public static void main(String[] args) {
        String[] s = {"A","B","C","D","E","F","G"};
        Graph graph = new Graph(s);
        //A-B A-C A-G A-F F-D F-E D-E E-G
        graph.connect(0, 1);
        graph.connect(0, 2);
        graph.connect(0, 6);
        graph.connect(0, 5);
        graph.connect(5, 3);
        graph.connect(5, 4);
        graph.connect(3, 4);
        graph.connect(4, 6);
        graph.showGraphMatrix();

        graph.dsf();//A -> B -> C -> F -> D -> E -> G -> 
        System.out.println();
        graph.bfs();//A -> B -> C -> F -> G -> D -> E -> 
    }
}

//圖形結構
class Graph {
    //儲存圖中所有頂點
    private List<String> vertexes;
    //圖形結構的鄰接矩陣
    private int[][] matrix;
    //各頂點訪問情況，true為已訪問，false為未訪問
    private boolean[] visited;

    /**
     * 根據傳入的頂點資訊生成矩陣
     * @param s
     */
    public Graph(String s[]) {
        vertexes = new ArrayList<>();
        for (String vertex : s){
            vertexes.add(vertex);
        }
        matrix = new int[s.length][s.length];
    }

    /**
     * 將倆個頂點連線，即生成邊
     * @param index1 頂點在集合中的索引
     * @param index2
     */
    public void connect(int index1, int index2){
        if (index1 < 0 || index1 > matrix.length || index2 < 0 || index2 > matrix.length){
            throw new RuntimeException("該頂點未存在");
        }
        //將新的鄰接新增的鄰接矩陣中
        matrix[index1][index2] = 1;
        matrix[index2][index1] = 1;
    }

    /**
     * 展示鄰接矩陣
     */
    public void showGraphMatrix(){
        for (int arr[] : matrix){
            System.out.println(Arrays.toString(arr));
        }
    }

    public void dsf(){
        visited = new boolean[vertexes.size()];
        //以在集合中下標為0的頂點，進行深度優先搜尋
        dsf(visited, 0);
    }

    /**
     * 深度優先搜尋
     * @param visited
     * @param row
     */
    public void dsf(boolean[] visited, int row){
        //輸出當前頂點
        System.out.print(vertexes.get(row) + " -> ");
        //將當前頂點設為已訪問
        visited[row] = true;
        //獲取當前頂點的鄰接頂點下標
        int index = getFirstNeighbor(row);
        //如果當前頂點有鄰接頂點則進行深度搜索
        while (index != -1){
            //當鄰接頂點未訪問時，則遞迴遍歷
            if (visited[index] != true){
                dsf(visited, index);
            }
            //當鄰接頂點已訪問時，則尋找另一個鄰接頂點
            index = getNeighbor(row, index);
        }
    }

    public void bfs(){
        visited = new boolean[vertexes.size()];
        ////以在集合中下標為0的頂點，進行廣度優先搜尋
        bfs(visited, 0);
    }

    /**
     * 廣度優先搜尋
     * @param visited
     * @param row
     */
    public void bfs(boolean[] visited, int row){
        //建立佇列，儲存遍歷鄰接頂點的順序
        Queue queue = new ArrayDeque();
        //輸出當前頂點
        System.out.print(vertexes.get(row) + " -> ");
        //將當前頂點設為已訪問
        visited[row] = true;
        //將當前頂點加入佇列中
        queue.add(row);
        //當佇列不為空時，即有未搜尋的鄰接頂點，進行搜尋
        while (!queue.isEmpty()){
            //按順序從佇列中彈出鄰接頂點下標
            int last = (Integer)queue.poll();
            //獲取該彈出頂點的鄰接頂點下標
            int index = getFirstNeighbor(last);
            //當彈出頂點有鄰接頂點時，進行廣度搜索
            while(index != -1){
                //當鄰接頂點未訪問時
                if(visited[index] != true){
                    //輸出該鄰接頂點
                    System.out.print(vertexes.get(index) + " -> ");
                    //把該鄰接頂點設為已訪問
                    visited[index] = true;
                    //將該鄰接頂點加入佇列
                    queue.add(index);
                }
                //繼續尋找彈出頂點的另一個鄰接頂點
                index = getNeighbor(last, index);
            }
        }
    }

    /**
     * 獲取頂點在鄰接矩陣對應行row中的第一個鄰接頂點下標
     * @param row
     * @return 當有鄰接頂點時返回鄰接頂點下標，沒有則返回-1
     */
    public int getFirstNeighbor(int row){
        for(int i =0; i<matrix.length; i++){
            if (matrix[row][i] != 0){
                return i;
            }
        }
        return -1;
    }

    /**
     * 獲取頂點在鄰接矩陣對於行row中col列的下一個鄰接頂點
     * @param row
     * @param col
     * @return 當有鄰接頂點時返回鄰接頂點下標，沒有則返回-1
     */
    public int getNeighbor(int row, int col){
        for (int i=col+1; i<matrix.length; i++){
            if (matrix[row][i] != 0){
                return i;
            }
        }
        return -1;
    }
}

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