位運算進階
阿新 • • 發佈：2021-01-15
[TOC]
## 編碼
在 m 位二進位制數中，通常稱最低位為 0 位，從右到左以此類推，最高位為 $m-1$ 位。
當無符號整數 (unsigned) 爆了的時候，它會自動 %，不會爆出負數。
C++ 的十六進位制常常以 “0x” 開頭，“0x” 後面的部分對應具體的十六進位制的數值。當使用 memset 時，memset 只能賦值出 “每 8 位都相同的數”。當需要把一個數組中的數值初始化為正無窮時，為了避免加法算術上溢位或者繁瑣的判斷，我們經常用 `memset(a, 0x3f, sizeof(a))` 給陣列賦 0x3F 3F 3F 3F 的值來代替。
對於數字 0x3F 3F 3F 3F，它是滿足以下兩個條件的最大整數：
1. 整數的兩倍不超過 0x7F 7F 7F 7F，即 int 能表示的最大正整數。
2. 整數的每 8 位（每個位元組） 都是相同的。
## 光速大整數乘法
+ 時間複雜度為 $O(1)$
```cpp
ull mul(ull a,ull b,ull p)
{
a%=p;
b%=p;
ull c=(long double) a*b/p;
ull x=a*b;
ull y=c*p;
ll ans=(ll)(x%p)-(ll)(y%p);
if(ans<0) ans+=p;
return ans;
}
```
+ 時間複雜度為 $O(\log_2b)$
```cpp
ll mul(ll a,ll b,ll p)
{
ll ans=0;
for(;b;b>>=1)
{
if(b&1) ans=(ans+1)%p;
a=a*2%p;
}
return ans;
}
```
## 二進位制狀態壓縮
### 位運算操作
二進位制狀態壓縮，是指將一個長度為 m 的 bool 陣列用一個 m 位二進位制整數表示並存儲的方法。利用下列位運算操作可以實現原 bool 陣列中對應下標元素的存取。
這種方法運算簡便，比暴力從十進位制算出二進位制的每一位節省了大量的時間和空間。
推薦題目：[CSP-S2020 動物園](https://www.luogu.com.cn/problem/P7076)
### 運算子優先順序
從高到低排列：
如果不確定優先順序，則可以加一些括號，以保證運算順序的正確性。
## $lowbit$ 計算
`lowbit(n)` 定義為非負整數 n 在二進位制表示下 “最低位的 1 及其後邊所有的 0 構成的數值”。
### 推導
設 $n>0$ ，$n$ 的第 $k$ 位是 $1$，第 $0$ ~ $k-1$ 位都是 $0$。
為了實現 lowbit 運算，先把 $n$ 取反，此時第 $k$ 位變為 0， 第 $0$ ~ $k-1$ 位都是 1。再令 $n=n+1$ ，此時因為要進位，第 k 位變為 1 ，第 $0$ ~ $k-1$ 位都是 0。
在上面的取反加 1 操作後，$n$ 的第 $k+1$ 到最高位恰好與原來相反，所以 $n ~\& ~(\sim n+1)$ 僅有第 $k$ 位為 1，其餘位都是 0。而在補碼錶示下，$\sim n = -1-n$，因此：
$$
lowbit(n)=n ~\& ~(\sim n+1) = n ~\& ~(-n)
$$
### Code
配合 Hash 代替 $\log$ 運算，可以使複雜度降低。
```cpp
const maxn = 1 << 20;
int H[maxn];
for(int i=0; i<=20; ++i)
H[1 << i] = i; //預處理
while(cin >> n) //對多組資料進行求解
{
while(n > 0)
{
cout << H[n & -n] << ' ';
n -= n & -n;
}
puts("");
}
```
### 內建函式
下面這些仙術可以高效計算 lowbit 以及二進位制中 1 的個數。但是，部分競賽**禁止** 使用下劃線開頭的庫函式，所以這些內建函式在競賽裡不要使用。
+ 返回 $x$ 的二進位制表示下最低位的 1 後面有多少個 0：
`int __builtin_ctz (unsigned int x)`
`long long __builtin_ctzll (unsigned long long x)`
+ 返回 $x$ 的二進位制表示下有多少位為 1：
`int __builtin_popcount (unsigned int x)`
`int __builtin_popcountll (unsigned long long x)`
## 參考文獻
李煜東 《演算法競賽 進階指南》
| 操作 | 運算 |
|---|---|
| 取出 n 的第 k 位 | ( n >> k ) & 1 |
| 取出 n 的後 k 位（ 0 ~ k-1 位） | n & ( ( 1 << k ) - 1 ) |
| 將第 k 位取反，賦值到 n | n = n xor ( 1 << k ) |
| 將第 k 位變為 1，賦值到 n | n |= ( 1 << k ) |
| 將第 k 位變為 0，賦值到 n | n &= ( ~ ( 1 << k ) ) |
| 加減 | 移位 | 比較大小 | 按位與 | 按位異或 | 按位或 |
|---|---|---|---|---|---|
| + , - | << , >> | > , < , == , != | & | xor ( C++ ^ ) | | |