博弈論詳解
阿新 • • 發佈：2021-01-31
[TOC]
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## 寫在前面
因為圖論專題考試考到了博弈論，然後就跑過來通了一遍
~~至於圖論考試為什麼會扯到博弈論？我不知道，就很奇怪~~
## 正文
### 何為博弈論？
> 博弈論 ，是經濟學的一個分支，主要研究具有競爭或對抗性質的物件，在一定規則下產生的各種行為。博弈論考慮遊戲中的個體的預測行為和實際行為，並研究它們的優化策略。
詳細解釋可以請自行[百度百科](https://baike.baidu.com/item/%E5%8D%9A%E5%BC%88%E8%AE%BA/81545?fr=aladdin)
### 先看一個簡單的例題
先來看一道小學就接觸過的思維題
> 你和好基友在玩一個取石子游戲。面前有30顆石子，每次只能取一顆或兩顆，你先取，取完的人為勝，問你是否有必勝策略
Q：什麼？有必勝策略？能否勝利不應該隨著我們選擇而改變嗎？
A：確實。但如果我們足夠聰明呢？每次都做最優的選擇，把取勝之路留給自己
Q：~~我一點也不聰明~~，那該如何做呢？
先從簡單入手，
假如只有一個或兩個石子，無疑先手必勝
只有三個石子，無疑先手必輸
(我們約定**先手必敗狀態**為**必敗狀態**，**先手必勝狀態**為**必勝狀態**)
這就是我們的終止狀態，即無論怎麼拿，都會回到這幾個狀態
因為我們想贏，所以我們要讓自己處於必勝狀態，即剩下一個或兩個石子的時候，我們是先手。不難發現，我們也許不能使自己處於必勝態，但我們可以讓對方處於必敗態。即剩下三個石子的時候，我們是後手。
不難發現，只要是三的倍數就一定是必敗狀態，否則就是必勝狀態。
證明：
假設不是三的倍數，我們使它成為三的倍數，此時我們是後手。對方如果拿一個，我們就拿兩個；如果拿兩個，我們就拿一個。所以我們那完後剩下的一定永遠是三的倍數，所以只剩下三個石子的時候我們一定是後手，此時對手必輸，也就是我們必勝。
假設是三的倍數，因為兩個人都足夠聰明，所以對方一定會使我們永遠處於三的倍數中。所以我們必敗。
所以只要判斷是不是三的倍數，就可以確定我們是否必勝了
至此，小學時代遺留的問題已經解決了~~可以拿去欺負同學~~，（這也是博弈論最基礎的問題，Nim遊戲）
可以說，你已經學會博弈論了
現在，讓我們對自己的思考做一下規範
### 博弈圖和狀態
把每個可到達的狀態都看做結點，每次做出決策都是從舊的狀態轉移到新的狀態，也就是在兩個狀態結點間連一條有向邊。如果把所有狀態轉移都畫出來，我們就得到了一張博弈圖
就像這樣
大多數博弈圖會是一個DAG，否則遊戲不可能結束
### 三個基本定理
通過推理不難得到這幾個定理
- 定理一：沒有後繼狀態的狀態是必敗狀態
- 定理二：一個狀態是必勝狀態 當且僅當 存在至少一個必敗狀態為它的後繼狀態。
- 定理三：一個狀態是必敗狀態 當且僅當 它的所有後繼狀態均為必勝狀態。
對於定理一，遊戲進行不下去了，即這個玩家沒有可操作的了，那麼這個玩家就輸掉了遊戲
對於定理二，如果該狀態至少有一個後繼狀態為必敗狀態，那麼玩家可以通過操作到該必敗狀態；此時對手的狀態為必敗狀態，即對手必定是失敗的，而相反地，自己就獲得了勝利。
對於定理三，如果不存在一個後繼狀態為必敗狀態，那麼無論如何，玩家只能操作到必勝狀態；此時對手的狀態為必勝狀態——對手必定是勝利的，自己就輸掉了遊戲。
如果博弈圖是一個有向無環圖，則通過這三個定理，我們可以在繪出博弈圖的情況下用 $O(n + m)$ 的時間（其中 $n$ 為狀態種數， $m$ 為邊數）得出每個狀態是必勝狀態還是必敗狀態。（利用拓撲排序
### Nim 和
讓我們回顧Nim遊戲，顯然我們可以通過構建博弈圖獲得是否必勝
但這樣的複雜度是 $O(\begin{matrix} \prod_{i=1}^n a_i \end{matrix})$，顯然不能接受。
有沒有什麼快速簡單的方法呢？
定義 Nim 和 = $a_1 \oplus a_2 \oplus a_3 \oplus ... \oplus a_n$
當且僅當 Nim 和 為 $0$ 時，該狀態為必敗狀態；否則該狀態為必勝狀態。
證明過程詳見[Oi-wiki](https://oi-wiki.org/math/game-theory/)
~~其實是我沒看懂~~
後面內容也一定程度上會證明這個定理
### 有向圖遊戲和SG函式
有向圖遊戲是一個經典的博弈遊戲——實際上，大部分的公平組合遊戲都可以轉換為有向圖遊戲。
在一個有向無環圖中，只有一個起點，上面有一個棋子，兩個玩家輪流沿著有向邊推動棋子，不能走的玩家判負。
定義 $mex$ 函式的值為不屬於集合 $S$ 中的最小非負整數，即：
$$mex(S) = min\{x\} \ \ (x \notin S,x\in \mathbb{N})$$
例如 $mex(\{ 0, 1, 3, 4\}) = 1$，$mex(\{1,2 \}) = 0，mex(\{\}) = 0$
對於狀態 $x$ 和它的所有 $k$ 個後繼狀態 $y_1,y_2,...,y_k$，定義 $SG$ 函式：
$$SG(x) = mex\{SG(y_1),SG(y_2),...,SG(y_k)\}$$
**SG定理：**
> 而對於由 $n$ 個有向圖遊戲組成的組合遊戲，設它們的起點分別為 $s_1,s_2,...,s_n$ ，則有定理： 當且僅當 $SG(s_1) \oplus SG(s_2) \oplus ... \oplus SG(s_n) \ne 0$ 時，這個遊戲是先手必勝的。
還是拿原來那個圖開刀
用 $SG[]$ 陣列來存所有結點的 $SG$ 函式值
因為 $9,3,8,10,4$ 這幾個點都沒有後繼狀態，所以它們 $SG$ 值均為 $0$，同理推出 2,7,5這個點的 $SG$ 值為 $1$，而
$$SG[6] = mex(SG[7],SG[8]) = 2$$
$$SG[1] = mex(SG[2],SG[5],SG[6]) = 0$$
### 把 Nim遊戲 轉化為有向圖遊戲
我們可以將一個有 $x$ 個物品的堆視為節點 $x$ ，拿掉若干個石子後剩下 $y$個，則當且僅當 $0 < y < x$ 時，節點 $x$ 可以到達 $y$ 。
那麼，由 $n$ 個堆組成的 Nim 遊戲，就可以視為 $n$ 個有向圖遊戲了。
根據上面的推論，可以得出 $SG(x) = x$ 。再根據 SG 定理，就可以得出 Nim 和的結論了。
### 博弈論DP
不得不說，博弈論DP就是個神仙做法，能有博弈論DP做的都是神仙題！
並沒有什麼固定的做法，但基本原理還是照著那三個定理來。能用DP的一般是因為想不出來如何用 $SG$ 定理。狀態的設計都比較神仙，主要是根據題目要求來設計。
可以參考一下下面兩個博弈論DP習題找找感覺，我也不是很會，主要是學會如何去設計狀態。
## 博弈論習題
1、[取石子游戲 1](https://loj.ac/problem/10241)
2、[取石子游戲 2](https://loj.ac/problem/10242)
3、[移棋子游戲](https://loj.ac/problem/10243)
其實這三道題大體思路上面都講過了，比較基礎
4、[取石子游戲](https://loj.ac/problem/10244)
**Describe**
同樣是n堆石子，只不過可取的石子數只有m個數，求先手必勝還是先手必敗，並輸出第一次取的方案
**Solution**
現根據 $m$ 個數預處理出 $1000$ 以內的數的 $SG$ 值，再將 $n$ 堆石子的數量異或，如果是 $0$ 先手必敗，反之先手必勝。
尋找一個方案：在從第一堆石子開始，一次拿取所有能拿取的情況，並判斷能否達成必勝條件。必勝條件是拿去列舉的拿取石子數量後，剩下的石子數異或起來為 $0$ ，因為你拿了一次石子後你就變成後手了
**Code**
```cpp
/*
Work by: Suzt_ilymics
Knowledge: ??
Time: O(??)
*/
#include
#include
#include
#include
#define LL long long
#define orz cout<<"lkp AK IOI!"<= 0; ++j){
vis[SG[i - val[j]]] = true;
// maxm = max(maxm, SG[i - val[j]]);
}
int j = 0;
while(vis[j]) j++;
SG[i] = j;
}
}
bool check(int x, int y){
for(int i = 1; i <= n; ++i){
pos[i] = a[i];
}
pos[x] -= y;
int ans = 0;
for(int i = 1; i <= n; ++i) ans ^= SG[pos[i]];
if(ans) return false;
return true;
}
int main()
{
n = read();
for(int i = 1; i <= n; ++i) a[i] = read();
m = read();
for(int i = 1; i <= m; ++i) val[i] = read();
init_SG();
int ans = 0;
for(int i = 1; i <= n; ++i) ans ^= SG[a[i]];
if(ans) {
printf("YES\n");
for(int i = 1; i <= n; ++i){
for(int j = 1; j <= m && (a[i] - val[j]) >= 0; ++j){
if(check(i, val[j])) {
printf("%d %d", i, val[j]);
return 0;
}
}
}
}
else printf("NO");
return 0;
}
```
5、[S-Nim](https://loj.ac/problem/10247)
**Describe**
和第二題一樣，就是多了 $T$ 組資料，每組資料又有多輪遊戲，每輪遊戲如果存在先手必勝輸出 $W$ 否則輸出 $L$
**Solution**
直接根據Nim和來做就好了，需要注意的是每次都要預處理一遍 $SG$ 函式，每次預處理之前都要拍一遍序
**Code**
```cpp
/*
Work by: Suzt_ilymics
Knowledge: ??
Time: O(??)
*/
#include
#include
#include
#include
#define LL long long
#define orz cout<<"lkp AK IOI!"<= 0; ++j){
vis[SG[i - val[j]]] = true;
}
int j = 0;
while(vis[j]) ++j;
SG[i] = j;
}
}
int main()
{
// freopen("test1.in","r",stdin);
// freopen("test.out","w",stdout);
while(true){
memset(SG, 0, sizeof SG);
k = read();
if(!k) break;
for(int i = 1; i <= k; ++i) val[i] = read();
sort(val + 1, val + k + 1);
init_SG();
m = read();
for(int j = 1; j <= m; ++j){
n = read();
int ans = 0;
for(int i = 1; i <= n; ++i) ans ^= SG[read()];
if(ans) printf("W");
else printf("L");
}
printf("\n");
}
return 0;
}
```
6、[巧克力棒](https://loj.ac/problem/10245)
**Describe**
一共10輪，每次一人可以從盒子裡取出若干條巧克力棒，或是將一根取出的巧克力棒吃掉正整數長度。TBL 先手兩人輪流，無法操作的人輸。如果勝輸出 $NO$ ，負輸出 $YES$
**Solution**
需要對Nim博弈有深入的瞭解，這題如果不用取巧克力，就是典型的Nim博弈。
我們知道，Nim博弈，如果異或和為0則是必敗狀態，所以，如果先手拿出幾根巧克力異或和不為0，後手就可以使異或和變為0，此時先手再拿，後手又可以通過操作使異或和變為0。
所以，先手要想取勝，必須先拿出最大的異或和為0的集合，此時後手無論怎麼操作，都會使異或和變為不等於0。所以，如果有異或和為0的集合，先手必勝。如果沒有，先手必輸。因為n很小，所以直接暴搜判斷即可。
**Code**
```cpp
/*
Work by: Suzt_ilymics
Knowledge: ??
Time: O(??)
*/
#include
#include
#include
#include
#define LL long long
#define orz cout<<"lkp AK IOI!"< n) return false;
if(dfs(pos + 1, val, cnt)) return true;
if(dfs(pos + 1, val ^ a[pos], cnt + 1)) return true;
return false;
}
int main()
{
for(int i = 1; i <= 10; ++i){
n = read();
for(int j = 1; j <= n; ++j) a[j] = read();
dfs(1, 0, 0) ? printf("NO\n") : printf("YES\n");
}
return 0;
}
```
## 博弈論DP習題
7、[取石子](https://loj.ac/problem/10246)
**Describe**
同樣n堆石子，兩種操作，拿一個或者合併其中兩堆，不能操作的人輸
**Solution**
參考的這篇[部落格](https://www.cnblogs.com/JCNL666/p/10904187.html)
把一個石子的堆的數量作為一個狀態，將多個石子的堆的數量作為一個狀態跑搜尋，同時用f陣列來記錄答案減少搜尋量
把自己的理解放到了註釋裡，看程式碼吧
**Code**
```cpp
/*
Work by: Suzt_ilymics
Knowledge: ??
Time: O(??)
*/
#include
#include
#include
#include
#define LL long long
#define orz cout<<"lkp AK IOI!"<
#include
#include
#include
#define LL long long
#define orz cout<<"lkp AK IOI!"< l && x > r)) L[i][j] = x;
else if(r < x && x < l) L[i][j] = x - 1;
else L[i][j] = x + 1;
x = a[i], l = L[i + 1][j], r = R[i + 1][j];
if(x == l) R[i][j] = 0;
else if((x < l && x < r) || (x > l && x > r)) R[i][j] = x;
else if(r < x && x < l) R[i][j] = x + 1;
else R[i][j] = x - 1;
}
}
printf("%d\n", (L[2][n] == a[1]) ? 0 : 1);
}
return 0;
}
```
奇技淫巧：（雖然過了但已被Hack）
主要是判斷最外邊兩個堆的關係，看能不能讓對手先拿裡面的堆
```cpp
/*
Work by: Suzt_ilymics
Knowledge: ??
Time: O(??)
*/
#include
#include
#include
#include
#define LL long long
#define orz cout<<"lkp AK IOI!"<