度數分治

將度數 \(\ge \sqrt m\) 的點稱為大點，度數 \(\lt \sqrt m\) 的點稱為小點。

列舉點 \(a\)，

Case 1：\(a\) 是大點，標記與 \(a\) 相連的小點和與 \(a\) 相連的編號比 \(a\) 小的大點，列舉圖中的每一條邊，判斷兩端點是否都被標記。\(O(m \sqrt m)\)

Case 2：\(a\) 是小點，列舉與 \(a\) 相連的編號比 \(a\) 小的小點 \(b\)，列舉與 \(b\) 相連的編號比 \(a\) 小的小點 \(c\)，判斷 \(c\) 是否被標記，標記點 \(b\)。\(O(m \sqrt m)\)

所有包含大點的三元環都只會在編號最大的大點處被統計，所有隻包含小點的三元環都只會在編號最大的點處被統計，不重不漏。

Case 1 的複雜度顯然。Case 2 中每條小點之間的邊 \((a, b)\) 都只會被算一次，貢獻 \(deg_b\) 的複雜度。

例題：HDU6184

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<map>
#include<algorithm>
using namespace std;

typedef long long ll;

const int N = 100005;
const int M = 200005;

int n, m, sm, hd[N], cnt, deg[N];
struct Edge {
	int to, nxt;
} e[M << 1];
struct Gedge {
	int u, v;
} ge[M];
map<pair<int,int>, int> tot;
bool tag[N];

void adde(int u, int v) {
	e[++cnt].to = v; e[cnt].nxt = hd[u]; hd[u] = cnt;
	e[++cnt].to = u; e[cnt].nxt = hd[v]; hd[v] = cnt;
}
#define mkpr(u, v) make_pair(min(u, v), max(u, v))
void work1(int u) {
	for(int i = hd[u]; i; i = e[i].nxt) {
		int v = e[i].to;
		if(deg[v] < sm || v < u) {
			tag[v] = 1;
		}
	}
	for(int i = 1; i <= m; ++i) {
		if(tag[ge[i].u] && tag[ge[i].v]) {
			++tot[mkpr(u, ge[i].u)];
			++tot[mkpr(u, ge[i].v)];
			++tot[mkpr(ge[i].u, ge[i].v)];
		}
	}
	for(int i = hd[u]; i; i = e[i].nxt) {
		tag[e[i].to] = 0;
	}
}
void work2(int u) {
	for(int i = hd[u]; i; i = e[i].nxt) {
		int v = e[i].to;
		if(deg[v] >= sm || v > u) continue;
		for(int j = hd[v]; j; j = e[j].nxt) {
			int w = e[j].to;
			if(tag[w]) {
				++tot[mkpr(u, v)];
				++tot[mkpr(u, w)];
				++tot[mkpr(v, w)];
			}
		}
		tag[v] = 1;
	}
	for(int i = hd[u]; i; i = e[i].nxt) {
		tag[e[i].to] = 0;
	}
}
int main() {
	while(~scanf("%d%d", &n, &m)) {
		cnt = 0;
		memset(hd, 0, sizeof(int) * (n + 1));
		memset(deg, 0, sizeof(int) * (n + 1));
		for(int i = 1; i <= m; ++i) {
			int u, v;
			scanf("%d%d", &u, &v);
			ge[i].u = u; ge[i].v = v;
			adde(u, v);
			++deg[u]; ++deg[v];
		}
		sm = (int)sqrt(m);
		tot.clear();
		for(int u = 1; u <= n; ++u) {
			if(deg[u] >= sm) work1(u);
			else work2(u);
		}
		ll ans = 0;
		for(int i = 1; i <= m; ++i) {
			int tmp = tot[mkpr(ge[i].u, ge[i].v)];
			ans += (ll)tmp * (tmp - 1) / 2;
		}
		printf("%lld\n", ans);
	}
	return 0;
}