無向圖三元環計數

一個科技，在 \(O(m\sqrt m)\) 複雜度內尋找三元環 。

解決的具體問題：給定 \(n\) 點 \(m\) 邊的無向圖，求無序三元點組 \((i,j,k)\) 的數量，滿足圖中存在邊 \((i,j),(j,k),(i,k)\)。

首先，對邊進行重定向。對於兩個點，我們比較它們的度數大小關係，若相等則比較編號大小，從小的點向大的點連邊。這樣可以得到一張 DAG。

為了方便，我們暫時稱 \(v\) 是 \(u\) 的子節點當 \((u,v)\in E\)。

• 在新的 DAG 中每次列舉一個點 \(i\)，然後將它所有的出邊連結的點打上標記 \(i\)。

• 再列舉 \(i\)

  的一個子節點 \(j\)，列舉它的所有子節點，若發現有一個子節點 \(k\) 有 \(i\) 的標記，則 存在一個三元環 \(k\)。

這樣為什麼是對的呢？

按照演算法的流程，原來圖中的一個三元環 \((i,j,k)\) 在重定向之後一定變成了 \(i\) 向 \(j,k\) 連邊，\(j,k\) 之間再連一條邊的情況。不妨設為 \(j\to k\) 。我們列舉 \(i\) 時會標記 \(j,k\) ，再遍歷 \(j\) 找第三個點的時候一定會找到 \(k\)，並且對於這個環，遍歷順序只可能是 \(i,j,k\)，也就是我們只能由 \(i\) 來找到這個環。每個點我們只會列舉一次，所以圖中的每一個三元環，我們都會遍歷僅一次。

那麼時間複雜度為什麼 \(O(m\sqrt m)\) 呢？

考慮每條邊 \((u,v)\) 對時間複雜度的貢獻與 \(v\) 的出度同階，總的時間複雜度應當是 \(\sum_{i=1}^m d_v\)，這裡 \(d\) 是出度。

• 對於原圖中度數不大於 \(\sqrt{m}\) 的點，新圖中的度數也不可能更大，所以上界 \(\sqrt{m}\)。

• 對於原圖中度數大於 \(\sqrt{m}\) 的點，由於我們只向度數大的點連邊，而度數大於 \(\sqrt{m}\) 的點最多有 \(\sqrt{m}\) 個，度數也不可能超過 \(\sqrt m\)。

綜上，總的時間複雜度 \(O(m\sqrt{m})\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair<int,int> PII;
typedef long long ll;

const int N=2e5+10;

int head[N],ver[N<<1],nxt[N<<1],tot=0;
void add(int x,int y)
{
	ver[++tot]=y; nxt[tot]=head[x]; head[x]=tot;
}
int n,m;
int d[N],vis[N];
PII E[N];

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		d[x]++; d[y]++;
		E[i]={x,y};
	}
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int x=E[i].first,y=E[i].second;
		if(d[x]<d[y]) add(x,y);
		else if(d[x]==d[y]&&x<y) add(x,y);
		else add(y,x);
	}
	ll ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=head[i];j;j=nxt[j])
			vis[ver[j]]=i;
		for(int j=head[i];j;j=nxt[j])
		{
			int y=ver[j];
			for(int k=head[y];k;k=nxt[k])
				if(vis[ver[k]]==i) ans++;
		}
	}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}