不存在三元環的 $n$ 個點無向圖最多有幾條邊？
阿新 • • 發佈：2022-05-23
先由一道 MO 題引入：
空間中 \(8\) 個點，任意 \(4\) 點不共面。求證：從中任取 \(17\) 條以這些點為端點的線段，一定存在一個以其中 \(3\) 條線段為邊的三角形。
首先，這題的題目條件很迷惑。題面中「任意 \(4\) 點不共面」實際上想要傳達的資訊是「任意 \(3\) 點不共線」。題面給的是一個更強的條件，但對做出這道題來說沒什麼意義。
看完題目條件後，不難發現本題實際上被轉化為這樣一個問題：求證不存在一個 \(8\) 個點，\(17\) 條邊的無向圖使得圖中不存在三元環。這一命題可以通過簡單的分類討論解決，在此不多贅述。問題在於，當 \(8\to n\) 時，一個 \(n\)
解決這一問題前，我們不妨先猜一下擁有最大邊數的此類圖長成什麼樣子。很容易想到，它應該是一個 完全二分圖，且左部點數與右部點數儘量接近。於是我們大膽猜測：這道題的答案是 \(\lfloor \frac{n}{2} \rfloor\times \lceil \frac{n}{2} \rceil\)。這一結論在網路上的許多文章中都有所提及，但我沒有看到任何一篇文章對此給出了嚴謹證明。這裡就來補充一下此處的空缺。
考慮直接證明這一命題。令圖中 度數最大 的一點（如有多個任選其一即可）為 \(a\)，並設 \(a\) 的度數為 \(\rm deg\)
- \(a\to b_i\) 的邊
- \(b_i\to c_j\) 的邊
- \(c_i\to c_j\) 的邊
現在統計一下這三類的邊的數量。對於第一類邊，顯而易見其數量為 \(\rm deg\)；對於第二類第三類的邊，它們都與 \(C\)
所有與 \(C\) 中的點相連的邊的數量。由 \(\rm deg\) 是圖中的最大度數，即有 \(C\) 中每個點的度數都不大於 \(\rm deg\)；又因為 \(|C|=n-{\rm deg}-1\)，故所有與 \(C\) 集內點相連的邊至多有 \(|C|\cdot {\rm deg}=(n-{\rm deg}+1)\rm deg\)。故該圖邊集的大小至多為 \({\rm deg}+(n-{\rm deg}+1){\rm deg}={\rm deg}(n-{\rm deg})<=\lfloor\frac{n}{2}\rfloor\lceil\frac{n}{2}\rceil\)。而我們又給出了一個取到該值的構造。至此證畢。