素數的判斷

阿新 • • 發佈：2020-09-15

判斷是否為質數

質數只能被1和自己本身整除的數
如:2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97...

方法1:時間複雜度O(n)

最直觀的方法，根據定義，因為質數除了1和本身之外沒有其他約數，所以判斷n是否為質數，根據定義直接判斷從2到n-1是否存在n的約數即可

  function  isPrime(num){
      if(num ==2 || num==3)
      				return true;
      for (var i = 2;i <= n-1;i++) {
        if(num % i ==0){
          return false;
        }3
      }
      return true;
    }

方法2:時間複雜度O(logN)

上述判斷方法，明視訊記憶體在效率極低的問題。對於每個數n，其實並不需要從2判斷到n-1，我們知道，一個數若可以進行因數分解，那麼分解時得到的兩個數一定是一個小於等於sqrt(n)，一個大於等於sqrt(n)，據此，上述程式碼中並不需要遍歷到n-1，遍歷到sqrt(n)即可，因為若sqrt(n)左側找不到約數，那麼右側也一定找不到約數

  function  isPrime(num){      
      if(num ==2|| num==3 )
        return true;
      var temp = parseInt(Math.sqrt(num));
      for (var i = 2;i <= temp;i++) {
        if(num % i ==0){
          return false;
        }
      }
      return true;
    }

方法3:時間複雜度

2x,3x,5x肯定不是質數
此時判斷質數可以2個為單元快進，即在迴圈中i++步長加大為2，加快判斷速度

function isPrime(num){
  if(num ==2 || num==3)
        return true;
  if(num % 2 == 0 || num % 3 == 0 || num % 5 == 0)
    return false;				
  var temp = parseInt(Math.sqrt(num));
  for (var i = 7;i <= temp;i=i+2) {
    if(num % i == 0){
      return false;
    }
  }
  return true;
}

方法4:時間複雜度

證明：令x≥1，將大於等於5的自然數表示如下：
······ 6x-1，6x，6x+1，6x+2，6x+3，6x+4，6x+5，6(x+1），6(x+1)+1 ······
可以看到，6的倍數兩側之外的數為6x+2，6x+3，6x+4，由於2(3x+1)，3(2x+1)，2(3x+2)，所以它們一定不是素數，再加上6x本身也不是素數
- 所以在6的倍數兩側的一定是質數,及:if(num %6!= 1&&num %6!= 5) return false ;
- 在6的倍數相鄰兩側並不是一定就是質數
此時判斷質數可以6個為單元快進，即在迴圈中i++步長加大為6，加快判斷速度
- 原因是，假如要判定的數為n，則n必定是6x-1或6x+1的形式，對於迴圈中6i-1，6i，6i+1,6i+2，6i+3，6i+4，其中如果n能被6i，6i+2，6i+4整除，則n至少得是一個偶數，但是6x-1或6x+1的形式明顯是一個奇數，故不成立
- 另外，如果n能被6i+3整除，則n至少能被3整除，但是6x能被3整除，故6x-1或6x+1（即n）不可能被3整除，故不成立。
- 綜上，迴圈中只需要考慮6i-1和6i+1的情況，即迴圈的步長可以定為6，每次判斷迴圈變數k和k+2的情況即可，理論上講整體速度應該會是方法（2）的3倍

function isPrime(num){
  //兩個較小數
  if(num == 2 || num == 3 )
      return true ;
  //不在6的倍數兩側的一定不是質數
  if(num%6 != 1 && num%6 != 5){
      return false ;
  }    
  var tmp =Math.sqrt(num);
  //在6的倍數兩側的也可能不是質數
  for(var i = 5;i <= tmp; i+=6 )
      if(num%i == 0 || num%(i+2) == 0)
          return false ;                 
  return true;
}