EM演算法例項

通過例項可以快速瞭解EM演算法的基本思想，具體推導請點文末連結。圖a是讓我們預熱的，圖b是EM演算法的例項。

這是一個拋硬幣的例子，H表示正面向上，T表示反面向上，引數θ表示正面朝上的概率。硬幣有兩個，A和B，硬幣是有偏的。本次實驗總共做了5組，每組隨機選一個硬幣，連續拋10次。如果知道每次拋的是哪個硬幣，那麼計算引數θ就非常簡單了，如

下圖所示：

如果不知道每次拋的是哪個硬幣呢？那麼，我們就需要用EM演算法，基本步驟為：

  1、給θ_AθA​和θ_BθB​一個初始值；

  2、（E-step）估計每組實驗是硬幣A的概率（本組實驗是硬幣B的概率=1-本組實驗是硬幣A的概率）。分別計算每組實驗中，選擇A硬幣且正面朝上次數的期望值，選擇B硬幣且正面朝上次數的期望值；

  3、（M-step）利用第三步求得的期望值重新計算θ_AθA​和θ_BθB​；

  4、當迭代到一定次數，或者演算法收斂到一定精度，結束演算法，否則，回到第2步。

計算過程詳解：初始值θ_A^{(0)}θA(0)​=0.6,θ_B^{(0)}θB(0)​=0.5。

由兩個硬幣的初始值0.6和0.5，容易得出投擲出5正5反的概率是p_A=C^5_{10}*(0.6^5)*(0.4^5)pA​=C105​∗(0.65)∗(0.45)，p_B=C_{10}^5*(0.5^5)*(0.5^5)pB​=C105​∗(0.55)∗(0.55),p_ApA​/(p_ApA​+p_BpB​)=0.449,0.45就是0.449近似而來的，表示第一組實驗選擇的硬幣是A的概率為0.45。然後，0.449 * 5H = 2.2H ，0.449 * 5T = 2.2T ，表示第一組實驗選擇A硬幣且正面朝上次數和反面朝上次數的期望值都是2.2，其他的值依次類推。最後，求出θ_A^{(1)}θA(1)​=0.71,θ_B^{(1)}θB(1)​=0.58。重複上述過程，不斷迭代，直到演算法收斂到一定精度為止。

這篇部落格對EM演算法的推導非常詳細，連結如下：

https://blog.csdn.net/zhihua_oba/article/details/73776553

Python實現

#coding=utf-8
from numpy import *
from scipy import stats
import time
start = time.perf_counter()

def em_single(priors,observations):
 """
 EM演算法的單次迭代
 Arguments
 ------------
 priors:[theta_A,theta_B]
 observation:[m X n matrix]

 Returns
 ---------------
 new_priors:[new_theta_A,new_theta_B]
 :param priors:
 :param observations:
 :return:
 """
 counts = {'A': {'H': 0,'T': 0},'B': {'H': 0,'T': 0}}
 theta_A = priors[0]
 theta_B = priors[1]
 #E step
 for observation in observations:
  len_observation = len(observation)
  num_heads = observation.sum()
  num_tails = len_observation-num_heads
  #二項分佈求解公式
  contribution_A = stats.binom.pmf(num_heads,len_observation,theta_A)
  contribution_B = stats.binom.pmf(num_heads,theta_B)

  weight_A = contribution_A / (contribution_A + contribution_B)
  weight_B = contribution_B / (contribution_A + contribution_B)
  #更新在當前引數下A，B硬幣產生的正反面次數
  counts['A']['H'] += weight_A * num_heads
  counts['A']['T'] += weight_A * num_tails
  counts['B']['H'] += weight_B * num_heads
  counts['B']['T'] += weight_B * num_tails

 # M step
 new_theta_A = counts['A']['H'] / (counts['A']['H'] + counts['A']['T'])
 new_theta_B = counts['B']['H'] / (counts['B']['H'] + counts['B']['T'])
 return [new_theta_A,new_theta_B]


def em(observations,prior,tol = 1e-6,iterations=10000):
 """
 EM演算法
 ：param observations :觀測資料
 ：param prior：模型初值
 ：param tol：迭代結束閾值
 ：param iterations：最大迭代次數
 ：return：區域性最優的模型引數
 """
 iteration = 0;
 while iteration < iterations:
  new_prior = em_single(prior,observations)
  delta_change = abs(prior[0]-new_prior[0])
  if delta_change < tol:
   break
  else:
   prior = new_prior
   iteration +=1
 return [new_prior,iteration]

#硬幣投擲結果
observations = array([[1,1,1],[1,0],[0,1]])
print (em(observations,[0.6,0.5]))
end = time.perf_counter()
print('Running time: %f seconds'%(end-start))

總結

到此這篇關於Python實現EM演算法例項的文章就介紹到這了,更多相關Python實現EM演算法例項內容請搜尋我們以前的文章或繼續瀏覽下面的相關文章希望大家以後多多支援我們！