劍指 Offer 60. n個骰子的點數

把n個骰子扔在地上，所有骰子朝上一面的點數之和為s。輸入n，打印出s的所有可能的值出現的概率。

你需要用一個浮點數陣列返回答案，其中第 i 個元素代表這 n 個骰子所能擲出的點數集合中第 i 小的那個的概率。

示例 1:

輸入: 1
輸出: [0.16667,0.16667,0.16667,0.16667,0.16667,0.16667]

示例2:

輸入: 2
輸出: [0.02778,0.05556,0.08333,0.11111,0.13889,0.16667,0.13889,0.11111,0.08333,0.05556,0.02778]

限制：

1 <= n <= 11

思路一：動態規劃

動態規劃，如果已知n-1個骰子的每個點數對應的概率，那再求n個骰子的點數對應的概率，就是在n-1個骰子的每個點數上面增加1-6點，這樣就可以組成n個骰子的所有點數，而在原來的點數上增加一個點數概率其實就是多乘了一個1/6, 因為n-1的點數加上1-6點可能會有重疊，因為同一個數字可能有多種組合方式，這些不同的組合的概率應該加起來才是構成這個點數真正的概率。

具體分析可以參考：https://leetcode-cn.com/problems/nge-tou-zi-de-dian-shu-lcof/solution/java-dong-tai-gui-hua-by-zhi-xiong/

 1
 
 class Solution {
 2     public double[] twoSum(int n) {
 3         double[] pre = {1/6d, 1/6d, 1/6d, 1/6d, 1/6d, 1/6d};
 4         
 5         // 每次增加一個骰子
 6         for(int i = 2; i <= n; i++){
 7             double[] tmp = new double[5 * i + 1];
 8             // 對每個骰子執行：1. 在上一個骰子個數下加上一個骰子，把每個點數都加上0-5， 
 9
 
             for(int j = 0; j < pre.length; j++){
10                 for(int k = 0; k < 6; k++){
11                     // 因為同一個數字可能有多種組合方式，這些不同的組合的概率應該加起來才是構成這個點數真正的概率
12                     tmp[j+k] += pre[j] / 6d;   
13                 }
14             }
15             pre = tmp;
16         }
17 
18         return pre;
19     }
20 }

複雜度分析：

時間複雜度：6*(n-1)*(5*1+1 + .. + 5*i+1 + ... + 5*(n-1)+1) = 3(n-1)²(5n+2) = 15n³-24n²+3n+6, 根據公式可以看出來，演算法時間複雜度是O(n³)

空間複雜度：需要不斷地建立空間，然後又釋放掉，同時刻存在的兩個最大的記憶體陣列大小分別為(5(n-1)+1)和5n+1, 所以假設每次沒有引用指向陣列後，陣列記憶體會被自動回收的話，那空間複雜度就是O(n)