聯賽模擬測試10 C. 射手座之日
阿新 • • 發佈：2020-10-07
題目描述
分析
方法一（線段樹）
線段樹維護的是以當前節點為左端點的區間的貢獻
而區間的右端點則會從 \(1\) 到 \(n\) 逐漸右移
當我們把右端點從 \(i-1\) 的位置擴充套件到 \(i\) 的位置時
如果原先區間的最近公共祖先到根節點的路徑中經過 \(a[i-1]\) 和 \(a[i]\) 的最近公共祖先
那麼我們直接把這些區間的價值累加到 \(a[i-1]\) 和 \(a[i]\) 的最近公共祖先上
同時將其子樹清空，還要把 \(a[i]\) 位置上的貢獻加一
每次移完右端點後都要統計一下答案
程式碼
#include<cstdio> #include<cstring> #include<iostream> inline int read(){ int x=0,fh=1; char ch=getchar(); while(ch<'0' || ch>'9'){ if(ch=='-') fh=-1; ch=getchar(); } while(ch>='0' && ch<='9'){ x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar(); } return x*fh; } const int maxn=1e6+5; int n,head[maxn],tot=1,a[maxn],x[maxn]; struct asd{ int to,next; }b[maxn]; void ad(int aa,int bb){ b[tot].to=bb; b[tot].next=head[aa]; head[aa]=tot++; } int siz[maxn],son[maxn],f[maxn],dep[maxn]; void dfs1(int now,int fa){ f[now]=fa; siz[now]=1; dep[now]=dep[fa]+1; for(int i=head[now];i!=-1;i=b[i].next){ int u=b[i].to; if(u==fa) continue; dfs1(u,now); siz[now]+=siz[u]; if(son[now] || siz[son[now]]<siz[u]){ son[now]=u; } } } int dfn[maxn],tp[maxn],dfnc,rk[maxn]; void dfs2(int now,int top){ tp[now]=top; dfn[now]=++dfnc; rk[dfnc]=now; if(son[now]) dfs2(son[now],top); for(int i=head[now];i!=-1;i=b[i].next){ int u=b[i].to; if(u==f[now] || u==son[now]) continue; dfs2(u,u); } } int get_LCA(int u,int v){ while(tp[u]!=tp[v]){ if(dep[tp[u]]<dep[tp[v]]) std::swap(u,v); u=f[tp[u]]; } if(dep[u]<dep[v]) std::swap(u,v); return v; } struct trr{ int l,r,tag; long long cnt,sum; }tr[maxn]; void push_up(int da){ tr[da].cnt=tr[da<<1].cnt+tr[da<<1|1].cnt; tr[da].sum=tr[da<<1].sum+tr[da<<1|1].sum; } void push_down(int da){ if(tr[da].tag==-1){ tr[da<<1].tag=tr[da<<1|1].tag=-1; tr[da<<1].cnt=tr[da<<1|1].cnt=0; tr[da<<1].sum=tr[da<<1|1].sum=0; tr[da].tag=0; } } void build(int da,int l,int r){ tr[da].l=l,tr[da].r=r; if(tr[da].l==tr[da].r){ return; } int mids=(tr[da].l+tr[da].r)>>1; build(da<<1,l,mids); build(da<<1|1,mids+1,r); } void xg(int da,int wz,long long val){ if(tr[da].l==tr[da].r){ tr[da].cnt+=val; tr[da].sum=tr[da].cnt*x[rk[wz]]; return; } push_down(da); int mids=(tr[da].l+tr[da].r)>>1; if(wz<=mids) xg(da<<1,wz,val); else xg(da<<1|1,wz,val); push_up(da); } long long cx(int da,int l,int r){ if(tr[da].l>=l && tr[da].r<=r){ long long x=tr[da].cnt; tr[da].cnt=0; tr[da].sum=0; tr[da].tag=-1; return x; } push_down(da); int mids=(tr[da].l+tr[da].r)>>1; long long ans=0; if(l<=mids) ans+=cx(da<<1,l,r); if(r>mids) ans+=cx(da<<1|1,l,r); push_up(da); return ans; } int main(){ freopen("sagittarius.in","r",stdin); freopen("sagittarius.out","w",stdout); memset(head,-1,sizeof(head)); n=read(); int aa; for(int i=2;i<=n;i++){ aa=read(); ad(aa,i); ad(i,aa); } dfs1(1,0); dfs2(1,1); for(int i=1;i<=n;i++){ a[i]=read(); } for(int i=1;i<=n;i++){ x[i]=read(); } build(1,1,n); long long ans=0; for(int i=1;i<=n;i++){ if(i>1){ int now=get_LCA(a[i],a[i-1]); long long cs=cx(1,dfn[now],dfn[now]+siz[now]-1); xg(1,dfn[now],cs); } xg(1,dfn[a[i]],1); ans+=tr[1].sum; } printf("%lld\n",ans); return 0; }
方法二（樹上啟發式合併）
這一道題有 \(20\%\) 的部分排列是按照 \(dfn\) 序生成的
而這樣的序列對於任意一個節點來說，它的子節點的編號都是連續的
這樣的話貢獻在這棵子樹內的區間就為 \((siz+1) \times siz/2\)
其中 \(siz\) 為子樹大小
這就啟示我們可以維護子樹內連續區間段的長度
這樣的話子樹的值就可以直接累加到父親節點上
因此我們可以使用樹上啟發式合併
連續區間段的維護則要用到一個性質
我們設 \(rk[a[i]]=i\)，那麼如果有一個連續區間短
那麼很顯然，它們的 \(rank\) 值是連續的
程式碼
#include<cstdio> #include<cstring> #define rg register inline int read(){ rg int x=0,fh=1; char ch=getchar(); while(ch<'0' || ch>'9'){ if(ch=='-') fh=-1; ch=getchar(); } while(ch>='0' && ch<='9'){ x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar(); } return x*fh; } const int maxn=1e6+5; int h[maxn],tot=1; struct asd{ int to,nxt; }b[maxn]; int a[maxn],x[maxn],n; void ad(int aa,int bb){ b[tot].to=bb; b[tot].nxt=h[aa]; h[aa]=tot++; } int son[maxn],siz[maxn],dep[maxn],f[maxn]; void dfs1(int now,int fa){ siz[now]=1; f[now]=fa; dep[now]=dep[fa]+1; for(rg int i=h[now];i!=-1;i=b[i].nxt){ rg int u=b[i].to; if(u==fa) continue; dfs1(u,now); siz[now]+=siz[u]; if(son[now]==0 || siz[u]>siz[son[now]]){ son[now]=u; } } } long long nans[maxn],ans,mans,tmp; int orz,len[maxn],rk[maxn]; long long js(int now){ int len1=len[rk[now]-1],len2=len[rk[now]+1]; int len3=len1+len2+1; len[rk[now]-len1]=len3; len[rk[now]+len2]=len3; return 1LL*(len3+1)*len3/2-1LL*(len1+1)*len1/2-1LL*(len2+1)*len2/2; } void xg(int now,int op){ if(op==-1) len[rk[now]]=0; else { mans+=js(now); } for(rg int i=h[now];i!=-1;i=b[i].nxt){ rg int u=b[i].to; if(u==orz || u==f[now]) continue; xg(u,op); } } void dfs2(int now,int op){ for(rg int i=h[now];i!=-1;i=b[i].nxt){ rg int u=b[i].to; if(u==f[now] || u==son[now]) continue; dfs2(u,0); } if(son[now]){ dfs2(son[now],1); orz=son[now]; } xg(now,1); orz=0; tmp=mans; nans[now]=mans; for(rg int i=h[now];i!=-1;i=b[i].nxt){ rg int u=b[i].to; if(u==f[now]) continue; tmp-=nans[u]; } ans+=1LL*tmp*x[now]; if(op==0){ xg(now,-1); mans=0; } } int main(){ freopen("sagittarius.in","r",stdin); freopen("sagittarius.out","w",stdout); memset(h,-1,sizeof(h)); n=read(); rg int aa; for(rg int i=2;i<=n;i++){ aa=read(); ad(aa,i); ad(i,aa); } for(rg int i=1;i<=n;i++){ a[i]=read(); rk[a[i]]=i; } for(rg int i=1;i<=n;i++){ x[i]=read(); } dfs1(1,0); dfs2(1,0); printf("%lld\n",ans); return 0; }
兩種方法相比，樹上啟發式合併的程式碼更短，常數也更小